A decomposição de um reagente A foi estudada em um recipiente fechado e em temperatura constante. A concentração de A ao longo do tempo foi registrada na tabela.
Tempo (s)
[A] (mol/L)
0
0,80
200
0,60
400
0,40
600
0,20
a) Determine a ordem da reação com base nos dados experimentais.
b) Calcule a constante de velocidade k da reação.
Obs: faça usando alguma planilha, se baseando nas equações dos modelos;
Obs 2: faça a mão. Para obter o coeficiente de determinação e avaliar, pode usar o procedimento:
- Ajuste o modelo e encontre a equação da reta (Para ordem zero, por exemplo,
você tem, k pode ser obtido pela mesma equação fazendo
-k , usando a
correspondente ao t escolhido para cálculo de k ).
- Calcule valores previstos
.
- Calcule a média dos valores experimentais
| Tempo (s) | [A] (mol/L) |
| 0 | 0,80 |
| 200 | 0,60 |
| 400 | 0,40 |
| 600 | 0,20 |
b) Calcule a constante de velocidade k da reação.
Obs 2: faça a mão. Para obter o coeficiente de determinação e avaliar, pode usar o procedimento:
Passo 1
O enunciado dá uma tabela de concentração de
em função do tempo (temperatura constante, recipiente fechado). Os dados são (peguei-os da tabela do enunciado):
-
, . -
, . -
, . -
, .
O enunciado pede:
a) Determinar a ordem da reação com base nesses dados experimentais.
b) Calcular a constante de velocidade da reação.
a) Determinar a ordem da reação com base nesses dados experimentais.
b) Calcular a constante de velocidade
Observação do procedimento pedido: testar modelos correspondentes às ordens zero, um e dois usando as equações integradas, ajustar reta (linearizar), calcular os valores previstos
, calcular
,
e o coeficiente de determinação
. Vou aplicar isso “à mão” (mas com contas bem detalhadas) para escolher a ordem e obter
.
Passo 2
Plano de ação e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo).
- Para decidir a ordem vamos linearizar os modelos típicos e verificar qual linearização dá a melhor reta (maior
). - Modelos integrados e como linearizá-los (cada fórmula e o que cada símbolo significa):
- Ordem zero: a velocidade é constante. A equação integrada é
onde é a concentração em tempo , é a concentração inicial (em ) e é a constante de velocidade com unidades . Linearizamos diretamente como versus (reta de inclinação ).
2. Primeira ordem: a equação integrada éonde agora a variável dependente é ; a inclinação da reta versus é (unidade ).
3. Segunda ordem (para reações do tipoprodutos ou quando a taxa é proporcional a ): a equação integrada é onde a inclinação da reta versus é (unidade ). - Métrica para comparar: calcular
, onde são os valores experimentais da variável que linearizamos (por exemplo, para primeira ordem ), são os valores previstos pela reta ajustada, e é a média de . - Vou ajustar a reta por mínimos quadrados (fórmulas padrão para coeficiente angular
e intercepto ): onde é o número de pontos, são os tempos e é a variável transformada (por exemplo ou ou para ordem zero). - Após ajustar cada caso calculo
, , e a constante (a partir da inclinação, lembrando o sinal quando necessário).
Agora vamos aplicar isso aos dados.
Passo 3
Ajuste e cálculo para a ordem zero (linearizar
versus
).
- Dados originais (repito para ficar claro):
-
. -
. -
. -
.
-
- Observação direta:
diminui de para a cada , uma queda constante de por . Isso já indica uma relação linear perfeita. Vamos fazer as contas de ajuste para confirmar. - Ajuste por mínimos quadrados (aqui a reta é exatamente determinada pelos pontos, mas calculo a inclinação usando dois pontos):
Portanto a reta é Isso implica (pois inclinação). - Vamos calcular os valores previstos
(aqui é ): -
. -
. -
. -
.
Todos oscoincidem exatamente com os experimentais.
-
- Calcular
(usando e média ):
- Calcular
: - Então
- Conclusão parcial: o ajuste ordem zero é perfeito (
) e dá .
Passo 4
Ajuste e cálculo para a primeira ordem (linearizar
versus
), para comparar.
- Primeiro calculo
(usei log natural; valores obtidos a partir dos dados): -
. -
. -
. -
.
-
- Uso as fórmulas de mínimos quadrados com
e . Precisei calcular: -
. -
(soma dos ). -
. -
. -
.
-
- A inclinação da reta (
) e o intercepto ( ) foram calculados por:
Assim a reta ajustada é
.
- A constante de velocidade para a primeira ordem seria
inclinação (se primeira ordem fosse verdadeira). - Calculo de
e : - Média
. -
. - Usando
calculei os resíduos e obtive . - Portanto
- Média
- Interpretação: o ajuste primeira ordem é bom (
) mas não tão perfeito quanto o ajuste zero ordem ( ). Além disso os resíduos não são nulos, ao contrário do caso ordem zero.
Passo 5
Ajuste e cálculo para a segunda ordem (linearizar
versus
), para comparar.
- Primeiro calculo
: -
. -
. -
. -
.
-
- Calculos para regressão (com
, ): -
. -
. -
. -
. -
.
-
- Coeficientes da reta:
A reta ajustada é
. Neste caso
seria a inclinação
se segunda ordem fosse correta.
- Cálculo de
e : -
. -
. -
obtido das previsões deu aproximadamente . - Assim
-
- Interpretação: ajuste razoavelmente pior que o da primeira ordem e bem pior que o ajuste ordem zero.
Passo 6
Comparação dos ajustes e seleção da ordem.
- Resumo dos
obtidos: - Ordem zero:
. - Primeira ordem:
. - Segunda ordem:
.
- Ordem zero:
- O melhor ajuste é claramente o da ordem zero (ajuste perfeito com
e resíduos nulos). Isso significa que os dados seguem exatamente a lei integrada da ordem zero. - Portanto a ordem da reação é zero e a constante
é aquela obtida pela inclinação da reta .
Passo 7
Cálculo final e interpretação prática (como fazer rápido na prova).
- Para fazer isso rápido na prova: observe se
diminui linearmente com . Aqui cai sempre a cada , então a taxa é constante: . - Unidades: como é ordem zero,
tem unidade . - Confirme com
(se pedir): usando os da reta dá e , logo .
Resposta
a) A reação é de ordem zero.
b)
b)