Sejam a, b, c, d \in \mathbb{Z}. Mostrar que a \leq b e c \leq d \Longrightarrow a+c \leq b+d. Dê exemplos numéricos desta propriedade.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados: a,b,c,d\in\mathbb{Z}.
  • Hipóteses: \,a\le b e \,c\le d.
  • O que pedir: mostrar que \,a+c\le b+d.
  • Também pede: dar exemplos numéricos que ilustrem a propriedade.

Passo 2

Vamos lembrar e provar um fato básico que vamos usar: se \,x\le y e z é qualquer inteiro, então \,x+z\le y+z.
Explicação da definição e demonstração deste fato:
Definição (intuição útil). Dizer \,x\le y com x,y\in\mathbb{Z} significa que a diferença \,y-x é um inteiro maior ou igual a zero, isto é, \,y-x\in\mathbb{Z}_{\ge 0}.
Agora a prova do lema “adicionar preserva a desigualdade”: suponha \,x\le y. Então \,y-x\ge 0. Para qualquer inteiro z temos
(y+z)-(x+z)=y-x\ge 0,
portanto, pela mesma definição, \,x+z\le y+z.
Isto mostra que podemos somar o mesmo inteiro em ambos os membros de uma desigualdade sem quebrá‑la.

Passo 3

Aplicando o lema ao nosso problema principal, fazemos duas somas simples:
  1. A partir de \,a\le b, somando c aos dois lados (pelo lema) obtemos
a+c\le b+c.
  1. A partir de \,c\le d, somando b aos dois lados (pelo lema) obtemos
b+c\le b+d.
Agora usamos a transitividade de \le: se x\le y e y\le z então x\le z. Aplicando com x=a+c, y=b+c, z=b+d resulta
a+c\le b+d.
Isso conclui a demonstração direta e elementar da implicação pedida.

Passo 4

Uma prova alternativa, talvez mais concreta para inteiros (representação por diferença não negativa):
Como \,a\le b, existe m\in\mathbb{Z}_{\ge 0} tal que b=a+m.
Como \,c\le d, existe n\in\mathbb{Z}_{\ge 0} tal que d=c+n.
Somando as duas igualdades:
b+d=(a+m)+(c+n)=a+c+(m+n).
Como m+n\ge 0, segue que b+d\ge a+c, i.e.
a+c\le b+d.
Esta prova mostra de forma muito concreta que a soma das diferenças não negativas continua sendo não negativa.

Passo 5

Exemplos numéricos (mostrando passo a passo as contas) para fixar a ideia:
Exemplo 1: tome \,a=2, \,b=5, \,c=-3, \,d=1.
Verifica‑se \,2\le 5 e -3\le 1. Somando:
a+c=2+(-3)=-1,\qquad b+d=5+1=6,
e de fato -1\le 6.
Exemplo 2: tome \,a=-4, \,b=-1, \,c=2, \,d=3.
Verifica‑se -4\le -1 e 2\le 3. Somando:
a+c=-4+2=-2,\qquad b+d=-1+3=2,
e de fato -2\le 2.
Exemplo 3 (caso extremo): \,a=0, \,b=0, \,c=7, \,d=7.
Aqui 0\le 0 e 7\le 7. Somando:
a+c=0+7=7,\qquad b+d=0+7=7,
logo 7\le 7 (igualdade é permitida).

Resposta

\,a\le b\\ \text{e}\\ c\le d\\ \Longrightarrow\\ a+c\le b+d.
Exemplo 1: \,a=2,\\ b=5,\\ c=-3,\\ d=1\Rightarrow -1\le 6.
Exemplo 2: \,a=-4,\\ b=-1,\\ c=2,\\ d=3\Rightarrow -2\le 2.
Exemplo 3: \,a=0,\\ b=0,\\ c=7,\\ d=7\Rightarrow 7\le 7.

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