Sejam
. Mostrar que
e
. Dê exemplos numéricos desta propriedade.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Dados:
. - Hipóteses:
e . - O que pedir: mostrar que
. - Também pede: dar exemplos numéricos que ilustrem a propriedade.
Passo 2
Vamos lembrar e provar um fato básico que vamos usar: se
e
é qualquer inteiro, então
.
Explicação da definição e demonstração deste fato:
Explicação da definição e demonstração deste fato:
Definição (intuição útil). Dizer
com
significa que a diferença
é um inteiro maior ou igual a zero, isto é,
.
Agora a prova do lema “adicionar preserva a desigualdade”: suponha
. Então
. Para qualquer inteiro
temos
portanto, pela mesma definição,
.
Isto mostra que podemos somar o mesmo inteiro em ambos os membros de uma desigualdade sem quebrá‑la.
Isto mostra que podemos somar o mesmo inteiro em ambos os membros de uma desigualdade sem quebrá‑la.
Passo 3
Aplicando o lema ao nosso problema principal, fazemos duas somas simples:
- A partir de
, somando aos dois lados (pelo lema) obtemos
- A partir de
, somando aos dois lados (pelo lema) obtemos
Agora usamos a transitividade de
: se
e
então
. Aplicando com
,
,
resulta
Isso conclui a demonstração direta e elementar da implicação pedida.
Passo 4
Uma prova alternativa, talvez mais concreta para inteiros (representação por diferença não negativa):
Como
, existe
tal que
.
Como , existe
tal que
.
Somando as duas igualdades:
Como
Somando as duas igualdades:
Como
, segue que
, i.e.
Esta prova mostra de forma muito concreta que a soma das diferenças não negativas continua sendo não negativa.
Passo 5
Exemplos numéricos (mostrando passo a passo as contas) para fixar a ideia:
Exemplo 1: tome
,
,
,
.
Verifica‑se e
. Somando:
Verifica‑se
e de fato
.
Exemplo 2: tome
,
,
,
.
Verifica‑se e
. Somando:
Verifica‑se
e de fato
.
Exemplo 3 (caso extremo):
,
,
,
.
Aqui e
. Somando:
Aqui
logo
(igualdade é permitida).
Resposta
Exemplo 1:
Exemplo 2:
Exemplo 3: