Sejam
tais que
. Determinar a relação entre os números
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas informações importantes:
- Existem
. - O produto satisfaz
(ou seja, e têm sinais opostos).
A pergunta do problema é: qual é a relação entre os números
e
? Em outras palavras, queremos comparar
com
e dizer qual é maior, menor ou se são iguais.
Passo 2
Vamos lembrar uma identidade algébrica básica que usamos muito em provas e no papel: para quaisquer números
e
,
Isto vem de multiplicar
(regra do FOIL): por exemplo,
e de modo análogo para
.
Aqui vamos aplicar essa identidade com
e
.
Passo 3
Expandindo ambas as expressões com a identidade acima, obtemos:
Agora subtraímos uma da outra para ver a diferença:
Passo 4
Calculemos a diferença passo a passo (cancelando termos idênticos):
Os termos
e
se cancelam, sobrando
Passo 5
Agora usamos a hipótese do enunciado:
. Multiplicando
por
(que é negativo) inverte o sinal, portanto
Isso mostra que a diferença
é positiva, ou seja,
Logo,
Comentário pedagógico curto: intuitivamente, quando
e
têm sinais opostos, as parcelas
e
somam-se para reduzir o valor absoluto (porque um “cancela” parte do outro), enquanto que
faz com que os sinais se somem em módulo, aumentando o quadrado. A conta algébrica acima torna isso rigoroso.