Sejam a, b \in \mathbb{Z} tais que a b<0. Determinar a relação entre os números (a+b)^{2} e (a-b)^{2}.

Passo 1

O enunciado dá duas informações importantes:
  • Existem a,b\in\mathbb{Z}.
  • O produto satisfaz ab<0 (ou seja, a e b têm sinais opostos).
A pergunta do problema é: qual é a relação entre os números (a+b)^{2} e (a-b)^{2}? Em outras palavras, queremos comparar (a+b)^{2} com (a-b)^{2} e dizer qual é maior, menor ou se são iguais.

Passo 2

Vamos lembrar uma identidade algébrica básica que usamos muito em provas e no papel: para quaisquer números x e y,
(x\pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2.
Isto vem de multiplicar (x\pm y)(x\pm y) (regra do FOIL): por exemplo,
(x+y)^2 = x^2 + xy + yx + y^2 = x^2 + 2xy + y^2,
e de modo análogo para (x-y)^2.
Aqui vamos aplicar essa identidade com x=a e y=b.

Passo 3

Expandindo ambas as expressões com a identidade acima, obtemos:
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.
Agora subtraímos uma da outra para ver a diferença:
(a-b)^2 - (a+b)^2 = \bigl(a^2 - 2ab + b^2\bigr) - \bigl(a^2 + 2ab + b^2\bigr).

Passo 4

Calculemos a diferença passo a passo (cancelando termos idênticos):
(a-b)^2 - (a+b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 - a^2 - 2ab - b^2.
Os termos a^2 e b^2 se cancelam, sobrando
(a-b)^2 - (a+b)^2 = -4ab.

Passo 5

Agora usamos a hipótese do enunciado: ab<0. Multiplicando ab por -4 (que é negativo) inverte o sinal, portanto
-4ab>0.
Isso mostra que a diferença (a-b)^2 - (a+b)^2 é positiva, ou seja,
(a-b)^2 - (a+b)^2>0.
Logo,
(a-b)^2 > (a+b)^2.
Comentário pedagógico curto: intuitivamente, quando a e b têm sinais opostos, as parcelas a e b somam-se para reduzir o valor absoluto (porque um “cancela” parte do outro), enquanto que a-b faz com que os sinais se somem em módulo, aumentando o quadrado. A conta algébrica acima torna isso rigoroso.

Resposta

(a-b)^2>(a+b)^2

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