Para a decomposição térmica do etano foram obtidas as seguintes constantes de velocidade:
Temperatura (K)
823
833
843
853
863
873
883
893
903
2,5
4,7
8,2
12,3
23,1
35,3
57,6
92,4
141,5
Determine a energia de ativação e o fator pré-exponencial para esta reação de decomposição. Indique de forma clara as unidades de cada um dos parâmetros.
| Temperatura (K) | 823 | 833 | 843 | 853 | 863 | 873 | 883 | 893 | 903 |
|
|
2,5 | 4,7 | 8,2 | 12,3 | 23,1 | 35,3 | 57,6 | 92,4 | 141,5 |
Passo 1
O enunciado pede a energia de ativação e o fator pré-exponencial para a reação de decomposição do etano, e dá uma tabela com temperaturas e constantes de velocidade. Eu peguei os dados diretamente da tabela fornecida: temperaturas
,
,
,
,
,
,
,
,
\
e valores de
iguais a
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Isto significa que a constante de velocidade para cada linha é
Isto significa que a constante de velocidade para cada linha é
As perguntas explícitas são:
- Determinar a energia de ativação
(com unidades). - Determinar o fator pré-exponencial
(com unidades).
Passo 2
A teoria que vamos usar é a lei de Arrhenius. Ela diz que, para uma reação elementar unimolecular típica,
onde:
-
é a constante de velocidade (unidade aqui ), -
é o fator pré-exponencial (unidade ), -
é a energia de ativação (unidade ou ), -
é a constante dos gases, , -
é a temperatura em .
Para extrair
e
linearizamos a equação tomando logaritmo natural:
Isto é uma equação de reta
com
,
, inclinação
e intercepto
. Na prova você pode ajustar uma reta a um gráfico
versus
(regressão linear) ou, para uma boa estimativa simples, usar dois pontos extremos e calcular a inclinação por
depois
e
(usando qualquer ponto).
Vou seguir o caminho prático e robusto: usar os dois pontos extremos da tabela (menor e maior temperatura) para calcular a inclinação da reta, porque isso reduz o efeito de erros locais e é fácil de executar sem fazer soma pesada de regressão.
Passo 3
Calculo dos valores necessários a partir da tabela (peguei os números diretamente da tabela apresentada):
Para o ponto frio (índice 1):
Para o ponto quente (índice 2):
Agora os logaritmos naturais:
E os inversos das temperaturas:
Observação: os valores numéricos de
e
acima foram obtidos a partir dos números da tabela; mostrei as contas para você poder repetir na prova.
Passo 4
Cálculo da inclinação
usando os dois pontos extremos:
Calcule o numerador e denominador:
Logo
(Liguei as casas decimais para você ver a precisão; na prova com calculadora aceitaríamos
também.)
Passo 5
Cálculo da energia de ativação
. Lembra que
, então
Usando
e
,
Comentário rápido de amigo: faz sentido físico — decomposição de ligações C–C costuma ter energia na casa de algumas centenas de kJ/mol.
Passo 6
Cálculo do fator pré-exponencial
. Da linearização,
Usando um dos pontos (por exemplo o ponto 1,
,
) e
. Já sabemos
, então
Assim
Então
Você pode obter praticamente o mesmo valor usando o outro ponto; pequenas diferenças decorrem de arredondamento. O importante é que
seja da ordem de
.
Passo 7
Interpretação final rápida e unidades:
- A energia de ativação ficou grande,
, que em é mais legível. - O fator pré-exponencial tem unidade
(porque tem unidade e tem mesma unidade numa reação unimolecular).