Para a decomposição térmica do etano foram obtidas as seguintes constantes de velocidade:
Temperatura (K) 823 833 843 853 863 873 883 893 903
\mathbf{1 0}^{\mathbf{5}} \mathbf{k}_{\mathbf{v}}\left(\mathbf{s}^{-\mathbf{1}}\right) 2,5 4,7 8,2 12,3 23,1 35,3 57,6 92,4 141,5
Determine a energia de ativação e o fator pré-exponencial para esta reação de decomposição. Indique de forma clara as unidades de cada um dos parâmetros.

Passo 1

O enunciado pede a energia de ativação e o fator pré-exponencial para a reação de decomposição do etano, e dá uma tabela com temperaturas e constantes de velocidade. Eu peguei os dados diretamente da tabela fornecida: temperaturas \;T= 823, 833, 843, 853, 863, 873, 883, 893, 903\ \mathrm{K} e valores de \;10^{5}k_v\\ (\mathrm{s^{-1}}) iguais a 2,5, 4,7, 8,2, 12,3, 23,1, 35,3, 57,6, 92,4, 141,5.
Isto significa que a constante de velocidade para cada linha é
k = (\text{número na tabela})\times 10^{5}\\ \mathrm{s^{-1}}.ú
As perguntas explícitas são:
  1. Determinar a energia de ativação E_a (com unidades).
  2. Determinar o fator pré-exponencial A (com unidades).

Passo 2

A teoria que vamos usar é a lei de Arrhenius. Ela diz que, para uma reação elementar unimolecular típica,
k = A \, e^{-E_a/(R\,T)},
onde:
  • k é a constante de velocidade (unidade aqui \mathrm{s^{-1}}),
  • A é o fator pré-exponencial (unidade \mathrm{s^{-1}}),
  • E_a é a energia de ativação (unidade \mathrm{J\,mol^{-1}} ou \mathrm{kJ\,mol^{-1}}),
  • R é a constante dos gases, R=8,314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}},
  • T é a temperatura em \mathrm{K}.
Para extrair E_a e A linearizamos a equação tomando logaritmo natural:
\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R}\cdot\frac{1}{T}.
Isto é uma equação de reta \;y = b + m x com y=\ln k, x=1/T, inclinação m=-E_a/R e intercepto b=\ln A. Na prova você pode ajustar uma reta a um gráfico \ln k versus 1/T (regressão linear) ou, para uma boa estimativa simples, usar dois pontos extremos e calcular a inclinação por
m=\frac{\ln k_1-\ln k_2}{1/T_1-1/T_2},
depois E_a = -m R e \ln A = \ln k - m\cdot(1/T) (usando qualquer ponto).
Vou seguir o caminho prático e robusto: usar os dois pontos extremos da tabela (menor e maior temperatura) para calcular a inclinação da reta, porque isso reduz o efeito de erros locais e é fácil de executar sem fazer soma pesada de regressão.

Passo 3

Calculo dos valores necessários a partir da tabela (peguei os números diretamente da tabela apresentada):
Para o ponto frio (índice 1):
T_1 = 823\\ \mathrm{K},\qquad k_1 = 2,5\times 10^{5}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Para o ponto quente (índice 2):
T_2 = 903\\ \mathrm{K},\qquad k_2 = 141,5\times 10^{5}=1{,}415\times 10^{7}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Agora os logaritmos naturais:
\ln k_1 = \ln(2{,}5\times 10^{5}) = \ln(2{,}5) + \ln(10^{5}) = 0{,}9162907 + 11{,}5129255 = 12{,}4292162,
\ln k_2 = \ln(1{,}415\times 10^{7}) = \ln(1{,}415) + \ln(10^{7}) = 0{,}3470740 + 16{,}1180957 = 16{,}4651696.
E os inversos das temperaturas:
\frac{1}{T_1} = \frac{1}{823} \approx 0{,}0012140625\\ \mathrm{K^{-1}},
\frac{1}{T_2} = \frac{1}{903} \approx 0{,}0011065370\\ \mathrm{K^{-1}}.
Observação: os valores numéricos de \ln k e 1/T acima foram obtidos a partir dos números da tabela; mostrei as contas para você poder repetir na prova.

Passo 4

Cálculo da inclinação m usando os dois pontos extremos:
m=\frac{\ln k_1-\ln k_2}{1/T_1-1/T_2} = \frac{12{,}4292162 - 16{,}4651696}{0{,}0012140625 - 0{,}0011065370}.
Calcule o numerador e denominador:
\ln k_1-\ln k_2 = -4{,}0359534,
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2} = 0{,}0001075255\\ (\text{aprox.};\\ \text{pode-se calcular exactamente como }80/(823\cdot903)).
Logo
m \approx \frac{-4{,}0359534}{0{,}0001076620} \approx -37\,499{,}07.
(Liguei as casas decimais para você ver a precisão; na prova com calculadora aceitaríamos -3{,}750\times10^{4} também.)

Passo 5

Cálculo da energia de ativação E_a. Lembra que m=-E_a/R, então
E_a = -m\,R.
Usando R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} e m\approx -37\,499{,}07,
E_a \approx 37\,499{,}07 \times 8{,}314462618 = 311\,784\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} \approx 311{,}8\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
Comentário rápido de amigo: faz sentido físico — decomposição de ligações C–C costuma ter energia na casa de algumas centenas de kJ/mol.

Passo 6

Cálculo do fator pré-exponencial A. Da linearização,
\ln A = \ln k + \frac{E_a}{R\,T}.
Usando um dos pontos (por exemplo o ponto 1, T_1=823\\ \mathrm{K}, \ln k_1=12{,}4292162) e E_a/(R T_1) = (E_a/R)/T_1. Já sabemos E_a/R \approx 37\,499{,}07, então
\frac{E_a}{R\,T_1} \approx \frac{37\,499{,}07}{823} \approx 45{,}5631.
Assim
\ln A \approx 12{,}4292162 + 45{,}5631 = 57{,}9923.
Então
A = e^{57{,}9923} \approx 1{,}5\times 10^{25}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Você pode obter praticamente o mesmo valor usando o outro ponto; pequenas diferenças decorrem de arredondamento. O importante é que A seja da ordem de 10^{25}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 7

Interpretação final rápida e unidades:
  • A energia de ativação ficou grande, \sim 3{,}12\times10^{5}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}, que em \mathrm{kJ\,mol^{-1}} é mais legível.
  • O fator pré-exponencial tem unidade \mathrm{s^{-1}} (porque k tem unidade \mathrm{s^{-1}} e A tem mesma unidade numa reação unimolecular).

Resposta

\displaystyle E_{a}\approx 311{,}8\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}
\displaystyle A\approx 1{,}5\times 10^{25}\\ \mathrm{s^{-1}}

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