A decomposiçio de um composto no estado gasoso é um processo irreversivel com cinética de 2^{a} ordem, cuja velocidade especfica é Igual a 9^{*} 10^{-2} \mathrm{~L} / \mathrm{mol}^{*} s a 300 K e a 23^{*} 10^{-2} \mathrm{~L} / \mathrm{mol}^{*} s a 350 K respectivamente. A partir desta informaçäo, determine:
a- A energía de ativação desta reação
b- O fator de frequência a 300 K
c- A velocidade especifica a 400 K

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede (peguei os números do enunciado).
  • Informação dada:
    • A reação é de segunda ordem.
    • Constante de velocidade em T_1=300\\ \mathrm{K}: k_1 = 9\times10^{-2}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}.
    • Constante de velocidade em T_2=350\\ \mathrm{K}: k_2 = 23\times10^{-2}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}} = 2,3\times10^{-1}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) determinar a energia de ativação E_a da reação;
    (b) determinar o fator de frequência (pré-exponencial) A usando o valor a 300\\ \mathrm{K};
    (c) calcular a constante de velocidade k a 400\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e sem pulo de passos).
  • A lei de Arrhenius relaciona a constante de velocidade k com a temperatura T:
k = A\,e^{-E_a/(R T)}.
  • Aqui k é a constante de velocidade (unidade depende da ordem da reação; para 2ª ordem: \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}),
  • A é o fator de frequência (pré-exponencial),
  • E_a é a energia de ativação (em \mathrm{J\;mol^{-1}} ou \mathrm{kJ\;mol^{-1}}),
  • R é a constante dos gases, R = 8,314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}},
  • T é a temperatura em kelvin.
  • Usando dois valores de k em duas temperaturas, elimina-se A e obtém-se a forma conveniente:
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = -\frac{E_a}{R}\!\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
  • Essa fórmula é derivada dividindo duas equações de Arrhenius e tomando logaritmo natural.

Passo 3

Cálculo de E_a (passo a passo).
  • Primeiro calculemos a razão e seu logaritmo:
\frac{k_2}{k_1}=\frac{0,23}{0,09}=2,555\ldots
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right)=\ln(2,555\ldots)\approx 0,9375.
  • Calcular a diferença de recíprocos de temperatura:
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}=\frac{1}{300}-\frac{1}{350}=\frac{350-300}{300\cdot350}=\frac{50}{105000}=0,0004761905\\ \mathrm{K^{-1}}.
  • Isolando E_a da fórmula em duas temperaturas:
E_a = R\;\frac{\ln(k_2/k_1)}{\,\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}\,}.
  • Substituindo números (usar R=8,314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}):
E_a = 8,314\cdot\frac{0,9375}{0,0004761905}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
  • Faça a conta em etapas:
8,314\cdot 0,9375 \approx 7,7925
\frac{7,7925}{0,0004761905}\approx 16357\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
  • Converter para \mathrm{kJ\;mol^{-1}}:
E_a \approx 16,36\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}.

Passo 4

Explicação rápida do que esse valor significa (didática curta).
  • E_a é a barreira energética média que as moléculas precisam superar para reagir. Aqui é relativamente baixa ( \sim16{,}4\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}), o que explica o aumento apreciável de k com a temperatura.

Passo 5

Cálculo do fator de frequência A usando o valor de k a 300\\ \mathrm{K}.
  • Reescrevendo a equação de Arrhenius para A:
A = k_1\,e^{E_a/(R T_1)}.
  • Substituindo E_a (usaremos o valor em J/mol), k_1=0,09\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}, T_1=300\\ \mathrm{K}:
\frac{E_a}{R T_1}=\frac{16357}{8,314\cdot300}\approx \frac{16357}{2494,2}\approx 6,5608.
e^{6,5608}\approx 706,9.
A = 0,09\cdot 706,9 \approx 63,62\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}.
  • Comentário didático: A tem as mesmas unidades de k (aqui \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}) e representa a frequência efetiva de colisões orientadas corretamente; é obtido exponenciando o termo positivo E_a/(RT).

Passo 6

Cálculo de k a 400\\ \mathrm{K}.
  • Usando Arrhenius com A encontrado:
k(400) = A\,e^{-E_a/(R\cdot 400)}.
  • Calcular o expoente:
\frac{E_a}{R\cdot 400}=\frac{16357}{8,314\cdot 400}=\frac{16357}{3325,6}\approx 4,917.
e^{-4,917}\approx 0,00733.
  • Logo
k(400) \approx 63,62\cdot 0,00733 \approx 0,466\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}.
  • Interpretação rápida: ao aumentar a temperatura de 300 para 400\\ \mathrm{K} a constante aumenta muito (de 0,09 para \sim0,466), porque a exponencial depende fortemente de 1/T.

Resposta

(a) E_a \approx 16,36\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}
(b) A \approx 63,6\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}
(c) k(400\\ \mathrm{K}) \approx 0,466\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}

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