A energia de ativação para a reação de decomposlção do lodeto de hidrogênlo é de aproximadamente 182 \mathrm{~kJ}^{\circ} \mathrm{mol}^{-1}. A constante de velocidade a 700^{\circ} \mathrm{C} é 1,57 \times 10^{-3} \mathrm{~L} . \mathrm{mol}^{-1}, \mathrm{~s}^{-1}. Calcule:
a) A velocidade especifica a 600^{\circ} \mathrm{C}
b) O fator pré-exponencial (A) a 600^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
  • Energia de ativação: \,E_a = 182\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}.
  • Constante de velocidade à 700^\circ\mathrm{C}: \,k_1 = 1,57\times10^{-3}\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}.
  • Perguntas:
    (a) Calcular a velocidade específica (constante de velocidade) a 600^\circ\mathrm{C}, ou seja \,k_2 a 600^\circ\mathrm{C}.
    (b) Calcular o fator pré-exponencial \,A (usado na equação de Arrhenius) a 600^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Apresento a fórmula que vamos usar e explico o que cada símbolo significa. A lei de Arrhenius é
k = A \exp\!\left(-\dfrac{E_a}{R\,T}\right).
Aqui:
  • \,k é a constante de velocidade na temperatura \,T.
  • \,A é o fator pré-exponencial (às vezes chamado de frequência de colisão efetiva).
  • \,E_a é a energia de ativação (em \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}).
  • \,R é a constante dos gases: \,R = 8,314\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}.
  • \,T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}).
Para passar de uma temperatura para outra sem conhecer A diretamente usamos a forma de razão
\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right) = -\dfrac{E_a}{R}\!\left(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right),
que é obtida dividindo as duas expressões de Arrhenius e tomando logaritmo natural.

Passo 3

Converto as quantidades para unidades adequadas e designo índices:
  • Converto \,E_a para \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}:
E_a = 182\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1} = 182000\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}.
  • Temperaturas em kelvin (pegar do enunciado):
T_1 = 700^\circ\mathrm{C} = 700 + 273{,}15 = 973{,}15\\ \mathrm{K},
T_2 = 600^\circ\mathrm{C} = 600 + 273{,}15 = 873{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Constante dos gases:
R = 8{,}314\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}.

Passo 4

Vou calcular o termo \dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}. É conveniente usar a forma com produto:
\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}=\dfrac{T_1-T_2}{T_1T_2}.
Como T_1-T_2 = 100\\ \mathrm{K}, e
T_1T_2 = 973{,}15\times873{,}15 = 849705{,}9225\\ \mathrm{K}^2,
temos
\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1} = \dfrac{100}{849705{,}9225} \approx 1{,}1766\times10^{-4}\\ \mathrm{K}^{-1}.

Passo 5

Calculo agora o factor multiplicativo na fórmula do logaritmo:
\dfrac{E_a}{R}\!\left(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right) = \dfrac{182000}{8{,}314}\times 1{,}1766\times10^{-4}.
Primeiro \dfrac{E_a}{R}\approx 21890{,}9. Multiplicando:
\dfrac{E_a}{R}\!\left(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right)\approx 21890{,}9\times1{,}1766\times10^{-4}\approx 2{,}5757.
Portanto
\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right) = -2{,}5757.

Passo 6

Agora exponencio para obter a razão e calculo \,k_2:
\dfrac{k_2}{k_1} = \exp(-2{,}5757)\approx 0{,}07606.
Como \,k_1 = 1{,}57\times10^{-3}\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}, temos
k_2 = k_1\times0{,}07606 \approx 1{,}57\times10^{-3}\times0{,}07606 \approx 1{,}19\times10^{-4}\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}.
Isto responde a letra (a).

Passo 7

Para obter o fator pré-exponencial A usamos a equação de Arrhenius isolando A:
A = k \exp\!\left(\dfrac{E_a}{R\,T}\right).
O A deve ser o mesmo (idealmente) em ambas as temperaturas; vou calcular A usando os valores em T_2 (600^\circ\mathrm{C}) e o k_2 que acabamos de achar. Primeiro calculo o expoente:
\dfrac{E_a}{R\,T_2} = \dfrac{21890{,}9}{873{,}15}\approx 25{,}0711,
\exp\!\left(\dfrac{E_a}{R\,T_2}\right) \approx \exp(25{,}0711)\approx 7{,}735\times10^{10}.
Então
A = k_2 \times 7{,}735\times10^{10} \approx 1{,}19\times10^{-4}\times7{,}735\times10^{10} \approx 9{,}24\times10^{6}\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}.
(Se calcular A a partir de k_1 em T_1 obtém-se um valor essencialmente igual, como verificação.)

Passo 8

Resumo rápido do raciocínio para a prova: usar a forma de razão da equação de Arrhenius para passar de uma temperatura conhecida para outra sem conhecer A; depois usar a forma direta de Arrhenius para encontrar A se for pedido. Sempre converter temperaturas para kelvin e E_a para \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}.

Resposta

k(600^\circ\mathrm{C}) = 1{,}19\times10^{-4}\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}\n
A = 9{,}24\times10^{6}\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}

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