Para uma determinada reação de produção de cobre os segulntes dados foram obtidos:
Temperatura (\mathrm{K}) k( dm3/mol.s )
300 7,9 \times 106
350 3,0 \times 107
400 7,9 \times 107
450 1,7 \times 108
500 3,2 \times 108
Determine a Ea e o fator de frequência para essa reação.

Passo 1

O enunciado fornece as constantes de velocidade medidas em várias temperaturas para uma reação de produção de cobre. Os dados são (peguei estes números do enunciado):
  • Temperaturas: \,300\\ \mathrm{K},\\\ 350\\ \mathrm{K},\\\ 400\\ \mathrm{K},\\\ 450\\ \mathrm{K},\\\ 500\\ \mathrm{K}.
  • Constantes de velocidade correspondentes:
    • k(300\\ \mathrm{K}) = 7,9\times10^{6}\\ \mathrm{dm^{3}\,mol^{-1}\,s^{-1}}
    • k(350\\ \mathrm{K}) = 3,0\times10^{7}\\ \mathrm{dm^{3}\,mol^{-1}\,s^{-1}}
    • k(400\\ \mathrm{K}) = 7,9\times10^{7}\\ \mathrm{dm^{3}\,mol^{-1}\,s^{-1}}
    • k(450\\ \mathrm{K}) = 1,7\times10^{8}\\ \mathrm{dm^{3}\,mol^{-1}\,s^{-1}}
    • k(500\\ \mathrm{K}) = 3,2\times10^{8}\\ \mathrm{dm^{3}\,mol^{-1}\,s^{-1}}
O que o problema pede:
  • Determinar a energia de ativação \,E_a.
  • Determinar o fator de frequência (pré-exponencial) \,A.

Passo 2

Qual é a ideia para resolver? Vamos usar a equação de Arrhenius e linearizá‑la. A equação de Arrhenius é:
k = A \exp\!\left(-\frac{E_a}{R\,T}\right),
onde:
  • k é a constante de velocidade na temperatura T,
  • A é o fator de frequência (pré‑exponencial),
  • E_a é a energia de ativação (em \mathrm{J\cdot mol^{-1}}),
  • R é a constante universal dos gases (vou usar R = 8,314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}),
  • T é a temperatura em kelvin.
Tomando logaritmo natural de ambos os lados obtemos a forma linear:
\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R}\cdot\frac{1}{T}.
Isso significa que se plotássemos \ln k em função de 1/T obteríamos uma reta com coeficiente angular -E_a/R e intercepto \ln A. Para calcular à mão podemos usar a forma de dois pontos da relação (método direto e simples): entre dois pares (k_1,T_1) e (k_2,T_2) vale
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = -\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
Dessa fórmula isolamos E_a:
E_a = -R\cdot\frac{\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right)}{\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}}.
Vou usar dois pontos bem separados (os extremos T_1=300\\ \mathrm{K} e T_2=500\\ \mathrm{K}) para obter uma boa estimativa. Essa escolha é prática: quanto maior o intervalo de temperatura, menor o erro relativo na inclinação estimada (desde que os dados sejam coerentes).

Passo 3

Calcular a razão \dfrac{k_2}{k_1} usando k_1 = k(300\\ \mathrm{K}) e k_2 = k(500\\ \mathrm{K}):
\frac{k_2}{k_1}=\frac{3,2\times10^{8}}{7,9\times10^{6}}.
Fazendo a divisão:
\frac{k_2}{k_1} = 40,506329\ldots \\ (\text{aprox. }40,5063).

Passo 4

Calcular o logaritmo natural dessa razão:
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \ln(40,5063) \approx 3,7010.
(Usei a identidade \ln(4,05063\times10^{1})= \ln(4,05063)+\ln(10) para checar mentalmente; o valor numérico final é \approx 3,7010.)

Passo 5

Calcular a diferença dos recíprocos das temperaturas:
\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}=\frac{1}{500}-\frac{1}{300}.
Fazendo as contas:
\frac{1}{500}-\frac{1}{300}=\frac{300-500}{500\cdot300}=-\frac{200}{150000}=-0,001333333\\ \mathrm{K^{-1}}.

Passo 6

Agora aplicar a fórmula para E_a:
E_a = -R\cdot\frac{\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right)}{\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}}.
Substituindo os valores numéricos ( R=8,314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}, \ln(k_2/k_1)\approx 3,7010, e \dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}=-0,001333333\\ \mathrm{K^{-1}}):
E_a = -8,314\cdot\frac{3,7010}{-0,001333333}.
Observação útil: -0,001333333 = -\dfrac{1}{750}, então dividir por esse número equivale a multiplicar por 750. Assim:
E_a \approx 8,314\times3,7010\times750.
Calcule passo a passo:
8,314\times3,7010 \approx 30,7601
30,7601\times750 \approx 23070\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
Convertemos para unidade mais usual:
E_a \approx 23,07\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.

Passo 7

Com E_a em mãos, calculamos o fator de frequência A a partir de
\ln A = \ln k + \frac{E_a}{R\,T},
usando, por exemplo, o par (k,T)=(7,9\times10^{6},\,300\\ \mathrm{K}). Primeiro calcule \ln k:
\ln k = \ln(7,9\times10^{6}) = \ln(7,9) + \ln(10^{6}) \approx 2,0669 + 13,8155 = 15,8824.
Em seguida calcule o termo \dfrac{E_a}{R\,T}:
\frac{E_a}{R\,T} = \frac{23070}{8,314\times300} \approx \frac{23070}{2494,2} \approx 9,2509.
Logo:
\ln A \approx 15,8824 + 9,2509 = 25,1333.
E então:
A = \exp(25,1333).
Para expressar em notação mais familiar, converta o log natural para log base 10:
\log_{10}A = \frac{\ln A}{\ln 10} \approx \frac{25,1333}{2,302585} \approx 10,9151,
logo
A \approx 10^{10,9151} \approx 8,22\times10^{10}\\ \mathrm{dm^{3}\,mol^{-1}\,s^{-1}}.

Passo 8

Breve verificação de consistência (checar se outro ponto dá parecido): usando k(500\\ \mathrm{K}) obtemos aproximadamente o mesmo \ln A (pequena variação numérica de ordem de 10^{-3} no \ln A), portanto os valores calculados são consistentes com os dados fornecidos.

Resposta

E_a \approx 23,07\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}
A \approx 8,22\times10^{10}\\ \mathrm{dm^{3}\,mol^{-1}\,s^{-1}}

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