Deduza o balanço de energia para uma tubulação que contém uma bomba de deslocamento positivo. (Mostre a expressão da potência fornecida por essa boma em termos da pressão).

Passo 1

O que o enunciado pede: deduzir o balanço de energia para uma tubulação que contém uma bomba de deslocamento positivo e mostrar a expressão da potência fornecida por essa bomba em termos da pressão.
Informações e hipóteses que vamos usar (tudo explícito):
  • Há um único fluxo permanente (estado estacionário) passando pela tubulação e atravessando a bomba, com seção de entrada e saída bem definidas.
  • Variáveis principais: pressão de entrada p_1, pressão de saída p_2, vazão volumétrica Q (positiva no sentido do fluxo), densidade constante do fluido \rho, vazão mássica \dot{m}=\rho Q.
  • Vamos considerar fluido incompressível e desprezar trocas de calor com o meio (adiabático) e trabalho além do fornecido pela bomba (ou seja, o termo de trabalho é somente o da bomba).
  • Mantemos, por enquanto, termos gerais de energia cinética e potencial para que você veja a dedução completa; depois simplificamos para a expressão pedida em termos da pressão.
  • Definimos \dot{W}_p como a potência fornecida pela bomba ao fluido (positiva quando a bomba entrega energia ao fluido).

Passo 2

Aplicando a 1ª lei da termodinâmica para um sistema aberto em regime permanente (equação de energia para fluxo estacionário) numa forma conveniente com entalpia específica h:
\dot{m}\left(h_1+\frac{v_1^2}{2}+g z_1\right)+\dot{W}_p=\dot{m}\left(h_2+\frac{v_2^2}{2}+g z_2\right),
onde v é a velocidade média e z a cota (altura). Aqui não consideramos transferência de calor nem outros trabalhos além do da bomba.
Explicando os termos (para você entender bem):
  • h é a entalpia específica do fluido \bigl(h=u+\tfrac{p}{\rho}\bigr). Em escoamentos incompressíveis e sem grande variação de temperatura, a variação de energia interna u é desprezível, então a diferença de entalpia fica associada principalmente à diferença de pressão.
  • \frac{v^2}{2} é a energia cinética específica; g z é a energia potencial específica por unidade de massa.
  • \dot{m} é a vazão mássica que multiplica as energias específicas para dar taxas de energia.

Passo 3

Reescrevendo a equação para isolar \dot{W}_p:
\dot{W}_p=\dot{m}\left(h_2-h_1+\frac{v_2^2-v_1^2}{2}+g(z_2-z_1)\right).
Agora usamos a relação entre entalpia e pressão para fluido praticamente incompressível:
h_2-h_1=\frac{p_2-p_1}{\rho}.
Substituindo:
\dot{W}_p=\dot{m}\left(\frac{p_2-p_1}{\rho}+\frac{v_2^2-v_1^2}{2}+g(z_2-z_1)\right).

Passo 4

Expressando \dot{m} em função de Q (você precisa disso para a forma direta em pressão):
\dot{m}=\rho Q.
Substituindo em \dot{W}_p:
\dot{W}_p=\rho Q\left(\frac{p_2-p_1}{\rho}+\frac{v_2^2-v_1^2}{2}+g(z_2-z_1)\right).
Cancelando a \rho no primeiro termo:
\dot{W}_p=Q\,(p_2-p_1)+\rho Q\left(\frac{v_2^2-v_1^2}{2}+g(z_2-z_1)\right).
Interpretação física: a bomba fornece energia ao fluido em três formas — aumento de pressão (primeiro termo), aumento de energia cinética (segundo termo) e aumento de energia potencial (terceiro termo). Em muitos problemas práticos de bomba em tubulação de seção quase constante e pouca variação de altura, os termos cinético e potencial são desprezíveis em relação ao termo de pressão, por isso a forma simplificada aparece com frequência.

Passo 5

Casos práticos e forma final solicitada (expressão da potência em termos da pressão):
  • Se nos interessamos apenas pela potência entregue associada ao salto de pressão (caso mais comum, ou quando v_1\approx v_2 e z_1\approx z_2), os termos cinético e potencial podem ser desprezados, ficando:
\dot{W}_p=Q\,(p_2-p_1).
  • Forma equivalente usando vazão mássica:
\dot{W}_p=\dot{m}\,\frac{p_2-p_1}{\rho}.
  • Se quiser relacionar com a potência no eixo da bomba e a eficiência \eta_p (útil na prática):
\dot{W}_{\text{eixo}}=\frac{Q\,(p_2-p_1)}{\eta_p}.

Resposta

\dot{W}_p=Q\,(p_2-p_1)=\dot{m}\,\frac{p_2-p_1}{\rho}

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