Deduza o balanço de energia para uma tubulação que contém uma bomba de deslocamento positivo. (Mostre a expressão da potência fornecida por essa boma em termos da pressão).
Passo 1
O que o enunciado pede: deduzir o balanço de energia para uma tubulação que contém uma bomba de deslocamento positivo e mostrar a expressão da potência fornecida por essa bomba em termos da pressão.
Informações e hipóteses que vamos usar (tudo explícito):
- Há um único fluxo permanente (estado estacionário) passando pela tubulação e atravessando a bomba, com seção de entrada e saída bem definidas.
- Variáveis principais: pressão de entrada
, pressão de saída , vazão volumétrica (positiva no sentido do fluxo), densidade constante do fluido , vazão mássica . - Vamos considerar fluido incompressível e desprezar trocas de calor com o meio (adiabático) e trabalho além do fornecido pela bomba (ou seja, o termo de trabalho é somente o da bomba).
- Mantemos, por enquanto, termos gerais de energia cinética e potencial para que você veja a dedução completa; depois simplificamos para a expressão pedida em termos da pressão.
- Definimos
como a potência fornecida pela bomba ao fluido (positiva quando a bomba entrega energia ao fluido).
Passo 2
Aplicando a 1ª lei da termodinâmica para um sistema aberto em regime permanente (equação de energia para fluxo estacionário) numa forma conveniente com entalpia específica
:
onde
é a velocidade média e
a cota (altura). Aqui não consideramos transferência de calor nem outros trabalhos além do da bomba.
Explicando os termos (para você entender bem):
-
é a entalpia específica do fluido . Em escoamentos incompressíveis e sem grande variação de temperatura, a variação de energia interna é desprezível, então a diferença de entalpia fica associada principalmente à diferença de pressão. -
é a energia cinética específica; é a energia potencial específica por unidade de massa. -
é a vazão mássica que multiplica as energias específicas para dar taxas de energia.
Passo 3
Reescrevendo a equação para isolar
:
Agora usamos a relação entre entalpia e pressão para fluido praticamente incompressível:
Substituindo:
Passo 4
Expressando
em função de
(você precisa disso para a forma direta em pressão):
Substituindo em
:
Cancelando a
no primeiro termo:
Interpretação física: a bomba fornece energia ao fluido em três formas — aumento de pressão (primeiro termo), aumento de energia cinética (segundo termo) e aumento de energia potencial (terceiro termo). Em muitos problemas práticos de bomba em tubulação de seção quase constante e pouca variação de altura, os termos cinético e potencial são desprezíveis em relação ao termo de pressão, por isso a forma simplificada aparece com frequência.
Passo 5
Casos práticos e forma final solicitada (expressão da potência em termos da pressão):
- Se nos interessamos apenas pela potência entregue associada ao salto de pressão (caso mais comum, ou quando
e ), os termos cinético e potencial podem ser desprezados, ficando:
- Forma equivalente usando vazão mássica:
- Se quiser relacionar com a potência no eixo da bomba e a eficiência
(útil na prática):