Qual é a aceleração angular resultante de um antebraço e mão de
quando os flexores do antebraço, que se fixam a 3 cm do centro de rotação do cotovelo, produzem 10 N de tensão, considerando um ângulo de
no cotovelo e um raio de giro do antebraço e da mão de 20 cm ?
Uma pessoa de 600 N levanta uma mala de 180 N posicionada de modo que o CG da mala esteja lateralmente a 20 cm da localização do CG da pessoa antes do levantamento da mala. Se a pessoa não se inclinar para nenhum lado para compensar a carga adicionada, onde estará a localização do CG combinado da pessoa e da mala em relação à localização do CG original da pessoa?
Passo 1
Vou separar claramente o que o enunciado pede e listar todos os dados fornecidos.
Primeira parte (antebraço e mão):
- Pede: a aceleração angular resultante
do sistema antebraço+mão. - Dados fornecidos:
- massa do antebraço e da mão:
. - força de tensão dos flexores (aplicada a
do centro de rotação do cotovelo): . - distância da aplicação da força ao centro de rotação:
. - ângulo do cotovelo:
(o que implica que as forças peso e muscular são perpendiculares ao raio, dando torques máximos). - “raio de giro” do antebraço e da mão:
. (Vou usar isto como raio de giração, i.e., .) - acelerar girando em torno do cotovelo; considerar
.
- massa do antebraço e da mão:
Segunda parte (pessoa + mala):
- Pede: deslocamento lateral do centro de gravidade combinado (pessoa + mala) em relação ao CG original da pessoa.
- Dados fornecidos:
- peso da pessoa:
. - peso da mala:
. - deslocamento lateral da mala em relação ao CG original da pessoa:
. - a pessoa não se inclina (ou seja, o CG do conjunto é simplesmente a média ponderada horizontal entre os dois CGs).
- peso da pessoa:
Passo 2
Entendendo os conceitos físicos da primeira parte (explicação didática):
- Torque (momento): é a tendência que uma força tem de provocar rotação em torno de um eixo. A fórmula é
onde
é a força,
é a distância (braço de alavanca) do ponto de aplicação da força ao eixo de rotação e
é o ângulo entre a linha de ação da força e o raio. Se
, então
e
.
- Sinal do torque: escolhe-se um sentido positivo (por exemplo, anticlockwise). Torques que tendem a girar no sentido oposto recebem sinal negativo.
- Momento de inércia
: mede a resistência do corpo à variação de rotação; depende da massa e da distribuição da massa em torno do eixo. Para muitos problemas em biomecânica é prático usar o raio de giração (ou raio de giro), definido tal que
onde
tem unidades de metro. Isso representa uma forma compacta de dizer “toda a massa
concentrada a uma distância
” para efeito do momento de inércia.
- Segunda lei de Newton para rotação: análoga a
para translação. Para rotação vale
onde
é o torque resultante e
é a aceleração angular.
Passo 3
Calcular o torque produzido pelos flexores (torque muscular):
- Como o enunciado dá
aplicado a e o ângulo é , o torque é
Explanação: aqui a força age perpendicularmente ao antebraço, então usamos simplesmente produto força × braço.
Passo 4
Calcular o torque devido ao peso do antebraço+mão (torque gravitacional):
- Primeiro o peso (força gravitacional) é
- Como o centro de massa do antebraço+mão está a
do cotovelo (dado como “raio de giro”), e o antebraço está a (peso age vertical e braço é horizontal), o torque gravitacional é
Explicação: esse torque tende a fazer o antebraço descer (oposto ao torque muscular).
Passo 5
Determinar o torque resultante e o sinal:
- Tomando positivo o sentido que o músculo tentaria (por exemplo, para flexionar o antebraço), o torque resultante é
- Interpretação do sinal: o resultado negativo indica que o torque gravitacional é maior e o sentido da rotação será aquele que faz o antebraço descer (ou seja, sentido oposto ao torque muscular escolhido como positivo).
Passo 6
Calcular o momento de inércia
usando o raio de giração:
- Fórmula e definição:
onde
é o raio de giro fornecido.
- Substituindo:
Explicação: isso nos dá a “inércia rotacional” do antebraço+mão em torno do cotovelo.
Passo 7
Aplicar a segunda lei de Newton para rotação para obter
:
- Fórmula:
- Substituindo os números:
- Interpretação: o valor em módulo é
. O sinal negativo indica que a aceleração angular tem sentido de fazer o antebraço descer (o músculo não consegue segurar staticamente com só ).
Passo 8
Explicando o método para a segunda parte (CG combinado) — conceitinho prático:
- O centro de gravidade horizontal (ou centro de massa, para pequenas inclinações) de dois corpos alinhados lateralmente é a média ponderada das posições, ponderada pelos pesos (ou massas). A fórmula (tomando a posição do CG original da pessoa como referência
) é
- Aqui
(CG da pessoa na origem), , , .
Passo 9
Calcular a localização do CG combinado:
- Numerador:
- Denominador:
- Portanto
- Interpretação: o CG combinado desloca-se
lateralmente na direção da mala em relação ao CG original da pessoa.
Resposta
O centro de gravidade combinado desloca-se