Qual é a aceleração angular resultante de um antebraço e mão de 1,7 \mathrm{~kg} quando os flexores do antebraço, que se fixam a 3 cm do centro de rotação do cotovelo, produzem 10 N de tensão, considerando um ângulo de 90^{\circ} no cotovelo e um raio de giro do antebraço e da mão de 20 cm ?
Uma pessoa de 600 N levanta uma mala de 180 N posicionada de modo que o CG da mala esteja lateralmente a 20 cm da localização do CG da pessoa antes do levantamento da mala. Se a pessoa não se inclinar para nenhum lado para compensar a carga adicionada, onde estará a localização do CG combinado da pessoa e da mala em relação à localização do CG original da pessoa?

Passo 1

Vou separar claramente o que o enunciado pede e listar todos os dados fornecidos.
Primeira parte (antebraço e mão):
  • Pede: a aceleração angular resultante \alpha do sistema antebraço+mão.
  • Dados fornecidos:
    • massa do antebraço e da mão: m=1,7\\ \mathrm{kg}.
    • força de tensão dos flexores (aplicada a 3\\ \mathrm{cm} do centro de rotação do cotovelo): F=10\\ \mathrm{N}.
    • distância da aplicação da força ao centro de rotação: r_{\text{musc}}=3\\ \mathrm{cm}=0,03\\ \mathrm{m}.
    • ângulo do cotovelo: 90^\circ (o que implica que as forças peso e muscular são perpendiculares ao raio, dando torques máximos).
    • “raio de giro” do antebraço e da mão: k=20\\ \mathrm{cm}=0,20\\ \mathrm{m}. (Vou usar isto como raio de giração, i.e., I=m k^{2}.)
    • acelerar girando em torno do cotovelo; considerar g=9,81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
Segunda parte (pessoa + mala):
  • Pede: deslocamento lateral do centro de gravidade combinado (pessoa + mala) em relação ao CG original da pessoa.
  • Dados fornecidos:
    • peso da pessoa: W_p=600\\ \mathrm{N}.
    • peso da mala: W_m=180\\ \mathrm{N}.
    • deslocamento lateral da mala em relação ao CG original da pessoa: d=20\\ \mathrm{cm}=0,20\\ \mathrm{m}.
    • a pessoa não se inclina (ou seja, o CG do conjunto é simplesmente a média ponderada horizontal entre os dois CGs).

Passo 2

Entendendo os conceitos físicos da primeira parte (explicação didática):
  • Torque (momento): é a tendência que uma força tem de provocar rotação em torno de um eixo. A fórmula é
\tau = F\,r\,\sin\theta,
onde F é a força, r é a distância (braço de alavanca) do ponto de aplicação da força ao eixo de rotação e \theta é o ângulo entre a linha de ação da força e o raio. Se \theta=90^\circ, então \sin\theta=1 e \tau=F r.
  • Sinal do torque: escolhe-se um sentido positivo (por exemplo, anticlockwise). Torques que tendem a girar no sentido oposto recebem sinal negativo.
  • Momento de inércia I: mede a resistência do corpo à variação de rotação; depende da massa e da distribuição da massa em torno do eixo. Para muitos problemas em biomecânica é prático usar o raio de giração k (ou raio de giro), definido tal que
I = m k^{2},
onde k tem unidades de metro. Isso representa uma forma compacta de dizer “toda a massa m concentrada a uma distância k” para efeito do momento de inércia.
  • Segunda lei de Newton para rotação: análoga a F=ma para translação. Para rotação vale
\sum \tau = I\,\alpha,
onde \sum \tau é o torque resultante e \alpha é a aceleração angular.

Passo 3

Calcular o torque produzido pelos flexores (torque muscular):
  • Como o enunciado dá F=10\\ \mathrm{N} aplicado a r_{\text{musc}}=0,03\\ \mathrm{m} e o ângulo é 90^\circ, o torque é
\tau_{\text{m}} = F\,r_{\text{musc}} = 10\cdot 0,03 = 0,30\\ \mathrm{N\,m}.
Explanação: aqui a força age perpendicularmente ao antebraço, então usamos simplesmente produto força × braço.

Passo 4

Calcular o torque devido ao peso do antebraço+mão (torque gravitacional):
  • Primeiro o peso (força gravitacional) é
W = m\,g = 1,7\cdot 9,81 = 16,677\\ \mathrm{N}.
  • Como o centro de massa do antebraço+mão está a k=0,20\\ \mathrm{m} do cotovelo (dado como “raio de giro”), e o antebraço está a 90^\circ (peso age vertical e braço é horizontal), o torque gravitacional é
\tau_{g} = W\,k = 16,677\cdot 0,20 = 3,3354\\ \mathrm{N\,m}.
Explicação: esse torque tende a fazer o antebraço descer (oposto ao torque muscular).

Passo 5

Determinar o torque resultante e o sinal:
  • Tomando positivo o sentido que o músculo tentaria (por exemplo, para flexionar o antebraço), o torque resultante é
\tau_{\text{net}} = \tau_{\text{m}} - \tau_{g} = 0,30 - 3,3354 = -3,0354\\ \mathrm{N\,m}.
  • Interpretação do sinal: o resultado negativo indica que o torque gravitacional é maior e o sentido da rotação será aquele que faz o antebraço descer (ou seja, sentido oposto ao torque muscular escolhido como positivo).

Passo 6

Calcular o momento de inércia I usando o raio de giração:
  • Fórmula e definição:
I = m\,k^{2},
onde k é o raio de giro fornecido.
  • Substituindo:
I = 1,7\cdot (0,20)^{2} = 1,7\cdot 0,04 = 0,068\\ \mathrm{kg\,m^{2}}.
Explicação: isso nos dá a “inércia rotacional” do antebraço+mão em torno do cotovelo.

Passo 7

Aplicar a segunda lei de Newton para rotação para obter \alpha:
  • Fórmula:
\alpha = \frac{\sum \tau}{I} = \frac{\tau_{\text{net}}}{I}.
  • Substituindo os números:
\alpha = \frac{-3,0354}{0,068} \approx -44,64\\ \mathrm{rad\,s^{-2}}.
  • Interpretação: o valor em módulo é |\alpha|\approx 44,6\\ \mathrm{rad\,s^{-2}}. O sinal negativo indica que a aceleração angular tem sentido de fazer o antebraço descer (o músculo não consegue segurar staticamente com só 10\\ \mathrm{N}).

Passo 8

Explicando o método para a segunda parte (CG combinado) — conceitinho prático:
  • O centro de gravidade horizontal (ou centro de massa, para pequenas inclinações) de dois corpos alinhados lateralmente é a média ponderada das posições, ponderada pelos pesos (ou massas). A fórmula (tomando a posição do CG original da pessoa como referência x=0) é
x_{\text{comb}} = \frac{W_{p}\,x_{p} + W_{m}\,x_{m}}{W_{p}+W_{m}}.
  • Aqui x_{p}=0 (CG da pessoa na origem), x_{m}=d=0,20\\ \mathrm{m}, W_{p}=600\\ \mathrm{N}, W_{m}=180\\ \mathrm{N}.

Passo 9

Calcular a localização do CG combinado:
  • Numerador:
W_{p}\,x_{p} + W_{m}\,x_{m} = 600\cdot 0 + 180\cdot 0,20 = 36\\ \mathrm{N\,m}.
  • Denominador:
W_{p}+W_{m} = 600 + 180 = 780\\ \mathrm{N}.
  • Portanto
x_{\text{comb}} = \frac{36}{780} = 0,0461538\\ \mathrm{m}\approx 0,0462\\ \mathrm{m} = 4,62\\ \mathrm{cm}.
  • Interpretação: o CG combinado desloca-se 4,62\\ \mathrm{cm} lateralmente na direção da mala em relação ao CG original da pessoa.

Resposta

\alpha \approx -44{,}6\\ \mathrm{rad\,s^{-2}} (o sinal negativo indica aceleração angular no sentido que faz o antebraço descer; módulo 44{,}6\\ \mathrm{rad\,s^{-2}}).
O centro de gravidade combinado desloca-se 0{,}0462\\ \mathrm{m} = 4{,}62\\ \mathrm{cm} lateralmente em direção à mala.

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