Deduza a equação de Bernoulli ao longo de uma Linha de Corrente e apresente os critérios de validade da mesma.

Passo 1

Opa! Então a questão pede pra gente deduzir a equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente e listar quando ela vale. Isso é tema de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente da conservação de quantidade de movimento (equação de Euler) e de como ela vira uma “equação de energia” para fluidos ideais. Vamos precisar da equação de Euler pro fluido sem viscosidade, das hipóteses de escoamento estacionário, incompressível e de projeção ao longo da linha de corrente.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação de Euler (conservação de momento) para um fluido ideal sujeito só a peso:
rhol(partial vec vpartial t + (vec vcdotnabla)vec vr) = -nabla p + rho,vec g
Aqui:
  • é a densidade (constante se o escoamento for incompressível).
  • é o vetor velocidade.
  • é a pressão.
  • é a aceleração da gravidade (força de corpo).

Passo 3

Agora simplificamos com as hipóteses:
  1. Escoamento estacionário: rho,(vec vcdotnabla)vec v = -nabla p + rho,vec g .
  2. Incompressível (densidade constante).
  3. Sem viscosidade (forças viscosas desprezíveis).
  4. Força de corpo conservativa (peso).
    Isso reduz a Euler a

Passo 4

A gente projeta essa equação ao longo da linha de corrente, ou seja, na direção do deslocamento (vec vcdotnabla)vec v = v,dvds, nabla pcdothat s = dpds, vec gcdothat s = -g,dzds, paralelo a rho,v,dvds = -dpds - rho,g,dzds . Usamos:
dpds + rho,v,dvds + rho,g,dzds = 0
onde é a cota vertical (pra cima positiva). Assim
Rearranjando:

Passo 5

Integramos essa expressão ao longo da corrente, de um ponto 1 a um ponto 2:
integral1^2 !dp + integral1^2 !rho,v,dv + integral1^2 !rho,g,dz = 0
Isso dá
(p2 - p1) + rho2(v2^2 - v1^2) + rho g,(z2 - z1) = 0,
ou seja, reorganizando, surge a forma clássica da equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente.

Resposta

Equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente:
boxedp + tfrac12,rho,v^2 + rho,g,z ;=;constante ao longo da corrente
Critérios de validade (só vale se):
  1. Escoamento estacionário ( ).
  2. Fluido incompressível ( constante).
  3. Sem viscosidade (fluido ideal).
  4. Valida ao longo de uma única linha de corrente.
  5. Somente forças de corpo conservativas (ex.: peso).

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