Deduza a equação de Bernoulli ao longo de uma Linha de Corrente e apresente os critérios de validade da mesma.
Passo 1
Opa! Então a questão pede pra gente deduzir a equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente e listar quando ela vale. Isso é tema de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente da conservação de quantidade de movimento (equação de Euler) e de como ela vira uma “equação de energia” para fluidos ideais. Vamos precisar da equação de Euler pro fluido sem viscosidade, das hipóteses de escoamento estacionário, incompressível e de projeção ao longo da linha de corrente.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação de Euler (conservação de momento) para um fluido ideal sujeito só a peso:
Aqui:
-
é a densidade (constante se o escoamento for incompressível). -
é o vetor velocidade. -
é a pressão. -
é a aceleração da gravidade (força de corpo).
Passo 3
Agora simplificamos com as hipóteses:
- Escoamento estacionário:
. - Incompressível (densidade
constante). - Sem viscosidade (forças viscosas desprezíveis).
- Força de corpo conservativa (peso).
Isso reduz a Euler a
Passo 4
A gente projeta essa equação ao longo da linha de corrente, ou seja, na direção do deslocamento
paralelo a
. Usamos:
onde
é a cota vertical (pra cima positiva). Assim
Rearranjando:
Passo 5
Integramos essa expressão ao longo da corrente, de um ponto 1 a um ponto 2:
Isso dá
ou seja, reorganizando, surge a forma clássica da equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente.
Resposta
Equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente:
Critérios de validade (só vale se):
- Escoamento estacionário (
). - Fluido incompressível (
constante). - Sem viscosidade (fluido ideal).
- Valida ao longo de uma única linha de corrente.
- Somente forças de corpo conservativas (ex.: peso).