Eixos de cobre [k=401 W /(m K) ; crho=385 J /(kg cdot K) ; rho=8.933 kg / m^3] de 0,1 m de diâmetro são submetidos a tratamento térmico em um forno a gás cujos gases estão a 1.200 K e fornecem um coeficiente de convecção de 100 WI / m^2. K). Se os eixos entram no forno a 300 K , quanto tempo devem permanecer no forno para atingirem a temperatura de 800 K ?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular a questão. Temos um eixo (cilindro) de cobre com diâmetro que entra no forno a . O forno mantém os gases a e um coeficiente de convecção . Queremos saber quanto tempo ele demora pra ficar com .
Conteúdo: transferência de calor transiente por convecção, usando o modelo de capacitância concentrada (lumped capacitance). Vamos precisar:
  1. Verificar o número de Biot para aprovar o modelo lumped.
  2. Usar a equação de aquecimento transiente para um corpo uniforme.
  3. Isolar o tempo e calcular.

Passo 2

Primeiro, checar se podemos usar o modelo de lumped capacitance. A condição é Bi = h,Lck, , onde
Lc = 0,14 = 0,025;m, Bi = 100 times 0,025401 approx 0,0062 ,<,0,1
e (comprimento característico) para um cilindro é .
No nosso caso:
,
,
.
Logo
Como é muito baixo, podemos tratar a temperatura do eixo como homogênea internamente (modelo lumped).

Passo 3

No modelo lumped, a variação de temperatura é dada por
T(t) - TinftyTi - Tinfty = exp!(-h,Arho,V,crho,t),
onde
  • T - TinftyTi - Tinfty = exp!(-h,(A/V)rho,crho,t) = exp!(-h,4/Drho,crho,t) é a área externa do cilindro ( , mas o comprimento cai se usarmos razão ),
  • é o volume ( ),
  • é a densidade e o calor específico.
Reescrevendo usando :

Passo 4

Isolando t = -rho,crhoh,(A/V); ln!(T - TinftyTi - Tinfty) = rho,crho,D4,h; ln!(Tinfty - TiTinfty - T) , temos
t = 8933 times 385 times 0,14 times 100 ;ln!(1200-3001200-800)
Agora, vamos aos valores (usando a densidade 8933 times 385 times 0,14 times 100 = 8933 times 385 times 0,1400 approx 859,75;s , que é o valor correto para cobre):
ln!(900400) = ln(2,25) approx 0,8109 ,
t approx 859,75 times 0,8109 approx 697,8;s approx 11,6;min ,
,
,
, , .
Calculando o tempo:
Primeiro a constante na frente:
Agora o logaritmo:
Portanto

Resposta

O eixo deve permanecer cerca de 698 s (aprox. 11,6 minutos) no forno para atingir 800 K.

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