Deduza a equação da corrente no indutor para a resposta forçada, utilize o circuito abaixo como referência. (1) Apresente a Lei de Kirchhoff adotada e a equação diferencial ordinária que descreve o comportamento do circuito. (2) Explique como a tensão no indutor pode ser obtida a partir da corrente para a resposta forçada. (3) Descreva o procedimento para determinar tanto a tensão quanto a corrente do indutor na resposta natural, com base na corrente previamente deduzida.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente analisar um circuito série RL de primeira ordem e:
- escrever a Lei de Kirchhoff que vira uma equação diferencial;
- achar a corrente forçada
e mostrar como pega a tensão no indutor a partir dela; - explicar como achar a resposta natural (tensão e corrente) usando a parte homogênea da solução.
Então o assunto é Análise de circuito RL, vamos usar KVL, ODE de 1º ordem, método dos coeficientes indeterminados e solução homogênea.
Passo 2
Aplicamos a Lei de Kirchhoff de tensões (KVL) no laço série:
Mas
Logo a ODE que descreve o circuito é
Isso é só reescrever a soma de quedas de tensão igual à fonte.
Passo 3
Para a resposta forçada
, a gente assume uma fonte senoidal
.
- Método dos coeficientes indeterminados: chuta-se
2. Substitui na ODE:
$$L\bigl(-A\omega\sin\omega t + B\omega\cos\omega t\bigr)+R\bigl(A\cos\omega t+B\sin\omega t\bigr)=V_m\cos\omega t.i_p(t)=\frac{V_m}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}};\cos!\Bigl(\omega t-\varphi\Bigr),$$com ângulo de defasagem
Passo 4
Tensão no indutor na forçada: basta usar
Como
$$v_L(t)
=L\bigl[-\tfrac{V_m,\omega}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}}\sin(\omega t-\varphi)\bigr].$$
Em outras palavras, pego , derivo e multiplico por
.
Em outras palavras, pego
Passo 5
Resposta natural (homogênea): a ODE vira
1. Resolve separando variáveis ou sabendo que a solução é exponencial:
- A tensão correspondente é
- O valor de
vem da condição inicial:
Assim a gente determina completamente a parte natural.
Resposta
Corrente forçada no indutor:
$$\boxed{i_p(t)
=\frac{V_m}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}};\cos!\bigl(\omega t-\arctan(\tfrac{\omega L}{R})\bigr).}$$
Tensão forçada: .
Resposta natural: e
$v_n(t)=L,\frac{di_n}{dt}=-R\bigl(i(0)-i_p(0)\bigr)e^{-R t/L},. $
Tensão forçada:
Resposta natural:
$v_n(t)=L,\frac{di_n}{dt}=-R\bigl(i(0)-i_p(0)\bigr)e^{-R t/L},. $