Deduza a equação da corrente no indutor para a resposta forçada, utilize o circuito abaixo como referência. (1) Apresente a Lei de Kirchhoff adotada e a equação diferencial ordinária que descreve o comportamento do circuito. (2) Explique como a tensão no indutor pode ser obtida a partir da corrente para a resposta forçada. (3) Descreva o procedimento para determinar tanto a tensão quanto a corrente do indutor na resposta natural, com base na corrente previamente deduzida.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente analisar um circuito série RL de primeira ordem e:
  1. escrever a Lei de Kirchhoff que vira uma equação diferencial;
  2. achar a corrente forçada ip(t) e mostrar como pega a tensão no indutor a partir dela;
  3. explicar como achar a resposta natural (tensão e corrente) usando a parte homogênea da solução.
    Então o assunto é Análise de circuito RL, vamos usar KVL, ODE de 1º ordem, método dos coeficientes indeterminados e solução homogênea.

Passo 2

Aplicamos a Lei de Kirchhoff de tensões (KVL) no laço série:
vS(t);=;vR(t)+vL(t)
Mas vR(t)=R,i(t) e vL(t)=L,di(t)dt.
Logo a ODE que descreve o circuito é
L,di(t)dt ;+;R,i(t);=;vS(t)
Isso é só reescrever a soma de quedas de tensão igual à fonte.

Passo 3

Para a resposta forçada ip(t), a gente assume uma fonte senoidal vS(t)=Vmcos(omega t).
  1. Método dos coeficientes indeterminados: chuta-se ip(t)=Acos(omega t)+Bsin(omega t)
    2. Substitui na ODE:
    $$L\bigl(-A\omega\sin\omega t + B\omega\cos\omega t\bigr)+R\bigl(A\cos\omega t+B\sin\omega t\bigr)=V_m\cos\omega t. Ll(-Aomegasinomega t + Bomegacosomega tr) +Rl(Acosomega t+Bsinomega tr)=Vmcosomega téi_p(t)=\frac{V_m}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}};\cos!\Bigl(\omega t-\varphi\Bigr),$$com ângulo de defasagem cos

Passo 4

Tensão no indutor na forçada: basta usar
vL(t)=L;dip(t)dt
Como ip(t) é senoidal, derivar troca cosseno em seno e puxa omega:
$$v_L(t)
=L\bigl[-\tfrac{V_m,\omega}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}}\sin(\omega t-\varphi)\bigr].$$
Em outras palavras, pego vL(t) =Ll[-tfracVm,omegaraizR^2+(omega L)^2sin(omega t-varphi)r], derivo e multiplico por ip(t).

Passo 5

Resposta natural (homogênea): a ODE vira
L,dindt+R,in=0
1. Resolve separando variáveis ou sabendo que a solução é exponencial:
in(t)=K,e^-RLt
  1. A tensão correspondente é vn(t)=L,dindt =L,Kl(-tfracRLr)e^-RLt =-R,K,e^-RLt
  2. O valor de K vem da condição inicial: i(0)=ip(0)+in(0)Longrightarrow K=i(0)-ip(0)
    Assim a gente determina completamente a parte natural.

Resposta

Corrente forçada no indutor:
$$\boxed{i_p(t)
=\frac{V_m}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}};\cos!\bigl(\omega t-\arctan(\tfrac{\omega L}{R})\bigr).}$$
Tensão forçada: boxedip(t) =VmraizR^2+(omega L)^2;cos!l(omega t-arctan(tfracomega LR)r).
Resposta natural: vL(t)=L,dipdt e
$v_n(t)=L,\frac{di_n}{dt}=-R\bigl(i(0)-i_p(0)\bigr)e^{-R t/L},. $

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