Mostre que para N resistores de resistência R conectados em paralelo a resistência equivalente é igual a R/N.
Passo 1
Beleza, a questão pede pra mostrar que quando você conecta N resistores, cada um com resistência
, todos em paralelo, a resistência equivalente dá simplesmente
Isso é conteúdo de circuito elétrico básico: vamos usar a ideia de “resistores em paralelo” e a Lei de Ohm (
). Também precisamos saber que, em paralelo, a tensão é a mesma em cada resistor e as correntes se somam.
Passo 2
Primeiro, lembra o que é resistor em paralelo. Significa que cada extremidade de todos os resistores está ligada no mesmo ponto, então a diferença de potencial (tensão) entre as pontas de cada resistor é igual. Se chamarmos essa tensão de
, então cada resistor “vê” exatamente
volts.
Pela Lei de Ohm, a corrente que passa por um resistor de resistência
quando submetido a
é
Como todos os N resistores são iguais, a corrente em cada um é a mesma:
Passo 3
Agora, em paralelo, as correntes se somam para formar a corrente total
que sai da fonte. Então:
Passo 4
Por outro lado, podemos imaginar um único resistor equivalente
que, submetido à mesma tensão
, forneça essa mesma corrente total
. Pela Lei de Ohm aplicada a esse resistor equivalente:
Passo 5
Então igualamos as duas expressões para
:
Como
, dá pra dividir os dois lados por
:
Passo 6
Por fim, invertendo ambos os lados, a resistência equivalente fica