Deduza uma equação matemática de conversão ( \mathrm{X}_{\mathrm{A}} ) em função do tempo, para uma reação irreversível de ordem 3 a volume constante, do tipo \mathrm{A} \rightarrow produtos. Determine o tempo de meia-vida desta reação para \mathrm{k}=1 \mathrm{L}^{2} / \mathrm{mol}^{2}. min e \mathrm{C}_{\mathrm{A} 0}=1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) deduzir uma expressão da conversão \mathrm{X}_{A} em função do tempo para uma reação irreversível \mathrm{A}\rightarrow produtos de ordem 3 a volume constante; (2) determinar o tempo de meia-vida quando k=1\\ \mathrm{L}^{2}\mathrm{/mol}^{2}\cdot\mathrm{min} e \;C_{A0}=1\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.\n\nAs informações fornecidas que vamos usar: \n\n \bullet Constante de velocidade: k (unidades dadas como \mathrm{L}^{2}\mathrm{/mol}^{2}\cdot\mathrm{min}).\n\n \bullet Lei de velocidade (reação de ordem 3): a velocidade de consumo de A é proporcional ao cubo da concentração de A.\n\n \bullet Concentração inicial: C_{A}(0)=C_{A0}.\n\n \bullet Definição de conversão: \mathrm{X}_{A} = \dfrac{C_{A0}-C_{A}}{C_{A0}}.\n\nA partir daqui vou deduzir passo a passo a equação X_A(t) e depois calcular o tempo de meia-vida usando os valores numéricos dados.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial da conservação de massa para um reator em batelada (volume constante): a taxa de variação da concentração de A é igual à velocidade da reação (com sinal negativo, pois A é consumido). Como a reação é de terceira ordem em A, a equação é
\frac{dC_A}{dt} = -\,k\,C_A^{3}.
Aqui C_A(t) é a concentração de A no tempo t, k é a constante de velocidade (positiva) e t é o tempo. Esta é uma equação diferencial ordinária separável — ou seja, podemos separar os termos em C_A de um lado e t do outro.

Passo 3

Separamos variáveis e integramos: \int_{C_{A0}}^{C_A} C^{-3}\,dC \;=\; -\,k \int_{0}^{t} dt.
Agora calculamos a integral do lado esquerdo. Recordando que \int C^{-3}dC = -\tfrac{1}{2}C^{-2}, obtemos, ao avaliar os limites,
\left[-\frac{1}{2}C^{-2}\right]_{C_{A0}}^{C_A} \;=\; -\,k\,t.
Isso dá
-\frac{1}{2}\left(C_A^{-2} - C_{A0}^{-2}\right) = -\,k\,t.

Passo 4

Multiplicamos por -2 para simplificar e isolamos C_A^{-2}:
C_A^{-2} - C_{A0}^{-2} = 2\,k\,t,
portanto
C_A^{-2} = C_{A0}^{-2} + 2\,k\,t.
Invertendo e extraindo raiz quadrada para obter C_A,
C_A(t) = \frac{1}{\sqrt{C_{A0}^{-2} + 2\,k\,t}}.
Podemos escrever esta expressão de forma mais compacta multiplicando numerador e denominador por C_{A0}:
C_A(t) = \frac{C_{A0}}{\sqrt{1 + 2\,k\,C_{A0}^{2}\,t}}.
Essa é a concentração de A no tempo t.

Passo 5

Agora usamos a definição de conversão \mathrm{X}_{A}. Por definição,
\mathrm{X}_{A}(t) = \frac{C_{A0}-C_A(t)}{C_{A0}} = 1 - \frac{C_A(t)}{C_{A0}}.
Substituindo a expressão de C_A(t) obtida no passo anterior,
\mathrm{X}_{A}(t) = 1 - \frac{1}{\sqrt{1 + 2\,k\,C_{A0}^{2}\,t}}.
Essa é a expressão final pedida: conversão em função do tempo para reação de ordem 3 a volume constante. Observação prática para prova: memorizar a forma C_A=C_{A0}/\sqrt{1+2kC_{A0}^2 t} e derivar X_A rapidamente.

Passo 6

Definimos o tempo de meia-vida t_{1/2} como o tempo em que a conversão atinge 50\%, ou seja \mathrm{X}_{A}=1/2. Isso equivale a C_A = C_{A0}/2. Usamos a relação obtida em \;C_A^{-2} = C_{A0}^{-2} + 2k t\; e substituímos C_A = C_{A0}/2:
\left(\frac{C_{A0}}{2}\right)^{-2} = C_{A0}^{-2} + 2\,k\,t_{1/2}.
Calculando o lado esquerdo: \left(\dfrac{C_{A0}}{2}\right)^{-2} = \dfrac{4}{C_{A0}^{2}}. Assim,
\frac{4}{C_{A0}^{2}} = \frac{1}{C_{A0}^{2}} + 2\,k\,t_{1/2}.
Subtraindo \dfrac{1}{C_{A0}^{2}} de ambos os lados:
\frac{3}{C_{A0}^{2}} = 2\,k\,t_{1/2}.
Logo, isolando t_{1/2},
t_{1/2} = \frac{3}{2\,k\,C_{A0}^{2}}.
Esta é a expressão geral do tempo de meia-vida para reação de terceira ordem (note que depende de C_{A0}).

Passo 7

Agora substituímos os valores numéricos dados: k=1\\ \mathrm{L}^{2}\mathrm{/mol}^{2}\cdot\mathrm{min} e C_{A0}=1\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}. Na expressão de X_A(t) o produto k\,C_{A0}^{2}=1\cdot 1^{2}=1, portanto a expressão fica simplificada para
\mathrm{X}_{A}(t)=1-\frac{1}{\sqrt{1+2\,t}}.
Para o tempo de meia-vida,
t_{1/2}=\frac{3}{2\cdot 1 \cdot 1^{2}}=\frac{3}{2}=1{,}5\\ \text{min}.

Resposta

\mathrm{X}_{A}(t)=1-\dfrac{1}{\sqrt{1+2\,k\,C_{A0}^{2}\,t}}\n
t_{1/2}=\dfrac{3}{2\,k\,C_{A0}^{2}}=1{,}5\\ \text{min}

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