Deduza uma equação matemática de conversão (
) em função do tempo, para uma reação irreversível de ordem 3 a volume constante, do tipo
produtos. Determine o tempo de meia-vida desta reação para
. min e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) deduzir uma expressão da conversão
em função do tempo para uma reação irreversível
produtos de ordem 3 a volume constante; (2) determinar o tempo de meia-vida quando
e
.\n\nAs informações fornecidas que vamos usar: \n\n
Constante de velocidade:
(unidades dadas como
).\n\n
Lei de velocidade (reação de ordem 3): a velocidade de consumo de
é proporcional ao cubo da concentração de
.\n\n
Concentração inicial:
.\n\n
Definição de conversão:
.\n\nA partir daqui vou deduzir passo a passo a equação
e depois calcular o tempo de meia-vida usando os valores numéricos dados.
Passo 2
Escrevemos a equação diferencial da conservação de massa para um reator em batelada (volume constante): a taxa de variação da concentração de
é igual à velocidade da reação (com sinal negativo, pois
é consumido). Como a reação é de terceira ordem em
, a equação é
Aqui
é a concentração de
no tempo
,
é a constante de velocidade (positiva) e
é o tempo. Esta é uma equação diferencial ordinária separável — ou seja, podemos separar os termos em
de um lado e
do outro.
Passo 3
Separamos variáveis e integramos:
Agora calculamos a integral do lado esquerdo. Recordando que
, obtemos, ao avaliar os limites,
Isso dá
Passo 4
Multiplicamos por
para simplificar e isolamos
:
portanto
Invertendo e extraindo raiz quadrada para obter
,
Podemos escrever esta expressão de forma mais compacta multiplicando numerador e denominador por
:
Essa é a concentração de
no tempo
.
Passo 5
Agora usamos a definição de conversão
. Por definição,
Substituindo a expressão de
obtida no passo anterior,
Essa é a expressão final pedida: conversão em função do tempo para reação de ordem 3 a volume constante. Observação prática para prova: memorizar a forma
e derivar
rapidamente.
Passo 6
Definimos o tempo de meia-vida
como o tempo em que a conversão atinge
, ou seja
. Isso equivale a
. Usamos a relação obtida em
e substituímos
:
Calculando o lado esquerdo:
. Assim,
Subtraindo
de ambos os lados:
Logo, isolando
,
Esta é a expressão geral do tempo de meia-vida para reação de terceira ordem (note que depende de
).
Passo 7
Agora substituímos os valores numéricos dados:
e
. Na expressão de
o produto
, portanto a expressão fica simplificada para
Para o tempo de meia-vida,