A reação de primeira ordem a volume constante 2 \mathrm{~A} \rightarrow 2 \mathrm{~B}+\mathrm{C} apresenta uma conversão de 42 \% após 2 minutos. Qual o tempo necessário para a concentração molar diminua de \frac{1}{4} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Reação: 2\mathrm{~A} \rightarrow 2\mathrm{~B} + \mathrm{C}.
  • Condição: volume constante.
  • Cinética: reação de primeira ordem (presumimos ordem 1 em relação a \mathrm{A}).
  • Informação experimental: conversão de 42\% após 2 minutos.
  • Pergunta: qual o tempo necessário para que a concentração molar diminua de \tfrac{1}{4} ?
Interpreto a frase "diminua de \tfrac{1}{4}" como: a concentração da espécie \mathrm{A} chegue a um quarto do valor inicial, ou seja [\mathrm{A}]=\tfrac{1}{4}[\mathrm{A}]_0. Se você queria dizer outra coisa (por ex.: diminuir em um quarto, chegando a 0{,}75[\mathrm{A}]_0), eu teria que recalcular — mas como não posso pedir clarificação, vou seguir a interpretação acima.

Passo 2

Entendendo conversão e relação com concentração:
  • Definição de conversão \;X\; para o reagente \mathrm{A}: X=\frac{[\mathrm{A}]_0-[\mathrm{A}]}{[\mathrm{A}]_0}.Aqui [\mathrm{A}]_0 é a concentração inicial de \mathrm{A} e [\mathrm{A}] é a concentração em tempo t.
  • Reorganizando: [\mathrm{A}]=[\mathrm{A}]_0(1-X).
  • Do enunciado: X=0{,}42 em t=2 min, então \frac{[\mathrm{A}](t=2)}{[\mathrm{A}]_0}=1-0{,}42=0{,}58.Ou seja, na prática pegamos esse dado da informação do enunciado.

Passo 3

Lei de velocidade integrada para reação de primeira ordem (aula curta):
  • Para uma reação de primeira ordem em \mathrm{A}, a taxa é -\frac{d[\mathrm{A}]}{dt}=k[\mathrm{A}],onde k é a constante de velocidade (unidade \mathrm{min}^{-1} aqui).
  • Isso é uma equação diferencial simples; separando variáveis e integrando de t=0 (com [\mathrm{A}]=[\mathrm{A}]_0) até tempo t (com [\mathrm{A}]): \int_{[\mathrm{A}]_0}^{[\mathrm{A}]}\frac{d[\mathrm{A}]}{[\mathrm{A}]}=-\int_{0}^{t}k\,dt.
  • A integral do lado esquerdo dá \ln\!\bigl([\mathrm{A}]\bigr)-\ln\!\bigl([\mathrm{A}]_0\bigr). Do lado direito vem -kt. Portanto a forma integrada é \ln\!\left(\frac{[\mathrm{A}]}{[\mathrm{A}]_0}\right)=-kt.
  • Essa fórmula é muito útil: se você conhece a fração [\mathrm{A}]/[\mathrm{A}]_0 em um tempo, consegue achar k; e depois calcular o tempo para qualquer outra fração.

Passo 4

Calcular a constante de velocidade k usando o dado X=0{,}42 em t=2 min:
  • Do passo anterior: \ln\!\left(\frac{[\mathrm{A}]}{[\mathrm{A}]_0}\right)=-kt.
  • Sabendo que \dfrac{[\mathrm{A}](2)}{[\mathrm{A}]_0}=0{,}58 e t=2 min: \ln(0{,}58)=-k\cdot 2.
  • Isolando k: k=-\frac{1}{2}\ln(0{,}58).
  • Agora calculamos numericamente. Usando \ln(0{,}58)\approx -0{,}544727, obtemos k\approx -\frac{1}{2}\times(-0{,}544727)=0{,}272364\\ \mathrm{min}^{-1}.(arredondando podemos usar k\approx0{,}2724\\ \mathrm{min}^{-1}.)

Passo 5

Calcular o tempo para [\mathrm{A}]=\tfrac{1}{4}[\mathrm{A}]_0:
  • Razão alvo: \frac{[\mathrm{A}]}{[\mathrm{A}]_0}=0{,}25.
  • Usando a fórmula integrada: \ln(0{,}25)=-kt \quad\Rightarrow\quad t=-\frac{1}{k}\ln(0{,}25).
  • Observação útil: \ln(0{,}25)=\ln\!\left(\frac{1}{4}\right)=-\ln(4) e \ln(4)=2\ln(2)\approx 2\times0{,}693147=1{,}386294.
    Assim t=\frac{\ln(4)}{k}.
  • Substituindo k\approx0{,}272364\\ \mathrm{min}^{-1}: t\approx\frac{1{,}386294}{0{,}272364}\approx 5{,}0919\\ \text{min}.
  • Arredondando de forma prática para a prova, podemos apresentar t\approx5{,}09\\ \text{min} (ou 5{,}1 min se quiser uma casa significativa).

Resposta

t\approx5{,}09\\ \mathrm{min}

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