A reação \mathrm{A}+\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{R}+\mathrm{S} é uma reação bimolecular e a sua constante de velocidade é 0,0032 \mathrm{~L} / \mathrm{mol} . \mathrm{s} a 300^{\circ} \mathrm{C}. Em uma determinada experiência foram utilizadas concentrações iniciais de A e de B iguais a 1,25 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} e 1,80 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}, respectivamente. Determine:
a) A velocidade inicial de consumo do reagente A.
b) O tempo para que a velocidade de consumo de A diminua até a metade de seu valor inicial.
c) O tempo para que a conversão de A seja 70 \%.
d) A energia de ativação da reação, sabendo-se que a velocidade da reação triplica após um aumento de 17,50^{\circ} \mathrm{C} na temperatura da reação.

Passo 1

O enunciado dá uma reação bimolecular \mathrm{A}+\mathrm{B}\rightarrow \mathrm{R}+\mathrm{S} e pede quatro coisas. Dados fornecidos:
k = 0,0032\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}\quad\text{(à }300^\circ\mathrm{C}\text{)},à
[\mathrm{A}]_0 = 1,25\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1},\qquad [\mathrm{B}]_0 = 1,80\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
Questões:
a) Calcular a velocidade inicial de consumo de A.
b) Determinar o tempo para que a velocidade de consumo de A seja metade da inicial.
c) Determinar o tempo para que a conversão de A seja 70\%.
d) Determinar a energia de ativação E_a, sabendo que a velocidade (constante de velocidade) triplica ao aumentar a temperatura em 17{,}50^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Conceito fundamental e fórmula da velocidade: para uma reação elementar bimolecular entre A e B a lei de velocidade é
v = k\,[\mathrm{A}]\,[\mathrm{B}],
onde v é a velocidade de consumo de A (unidades \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}), k é a constante de velocidade e [\mathrm{A}], [\mathrm{B}] são concentrações. Nesta reação v=-\dfrac{\mathrm{d}[\mathrm{A}]}{\mathrm{d}t}=k[\mathrm{A}][\mathrm{B}]. Agora aplicamos ao instante inicial (parte a).

Passo 3

Cálculo da velocidade inicial (parte a). Substituímos k, [\mathrm{A}]_0 e [\mathrm{B}]_0:
v_0 = k\,[\mathrm{A}]_0\,[\mathrm{B}]_0 = 0,0032\cdot 1,25\cdot 1,80.
Calcule passo a passo: 1,25\cdot 1,80 = 2,25. Então
v_0 = 0,0032\cdot 2,25 = 0,00720\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}.
Pronto, essa é a velocidade inicial de consumo de A.

Passo 4

Obtendo a lei integrada para a reação A + B → produtos (caso [\mathrm{A}]_0\neq [\mathrm{B}]_0), que vamos usar nas partes b e c.
Definimos a=[\mathrm{A}]_0, b=[\mathrm{B}]_0 e x o avanço (consumo) da reação, de modo que
[\mathrm{A}] = a - x,\qquad [\mathrm{B}] = b - x.
Como -\dfrac{\mathrm{d}[\mathrm{A}]}{\mathrm{d}t}=k[\mathrm{A}][\mathrm{B}], temos
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = k(a-x)(b-x).
Separamos variáveis:
\int_{0}^{x} \frac{\mathrm{d}x'}{(a-x')(b-x')} = \int_{0}^{t} k\,\mathrm{d}t'.
Usamos frações parciais: para a\neq b
\frac{1}{(a-x)(b-x)}=\frac{1}{b-a}\left(\frac{1}{a-x}-\frac{1}{b-x}\right).
Integrando e avaliando os limites obtemos a forma prática
\frac{1}{b-a}\ln\!\left(\frac{a(b-x)}{b(a-x)}\right)=k\,t.
Essa é a expressão que relaciona x (ou as concentrações) com o tempo t. Observação: aqui a=[\mathrm{A}]_0 e b=[\mathrm{B}]_0.

Passo 5

Parte b) — tempo para que a velocidade de consumo de A seja metade da inicial.
Condição: v(t)=\dfrac{v_0}{2}. Como v=k[\mathrm{A}][\mathrm{B}], isso implica
[\mathrm{A}][\mathrm{B}] = \frac{a b}{2}.
Em termos de x,
(a-x)(b-x)=\frac{ab}{2}.
Expandindo:
ab - (a+b)x + x^2 = \frac{ab}{2}.
Rearranjando:
x^2 - (a+b)x + \frac{ab}{2} = 0.
Agora substituímos os valores a=1,25 e b=1,80 (usar vírgula como separador decimal):
x^2 - 3{,}05\,x + 1{,}125 = 0.
Resolvendo a quadrática: discriminante
\Delta = (3{,}05)^2 - 4\cdot 1{,}125 = 9{,}3025 - 4{,}5 = 4{,}8025.
\sqrt{\Delta}=2{,}191 (aprox.). As raízes:
x = \frac{3{,}05\pm 2{,}191}{2}.
As duas raízes são x\approx 0{,}4295 e x\approx 2{,}6205; descartamos a segunda (maior que a). Então x\approx 0{,}4295\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
Agora usamos a forma integrada para obter t:
k\,t = \frac{1}{b-a}\ln\!\left(\frac{a(b-x)}{b(a-x)}\right).
Calculemos os termos numéricos:
b-a = 1{,}80-1{,}25 = 0{,}55.
b-x = 1{,}80-0{,}4295 = 1{,}3705,\qquad a-x = 1{,}25-0{,}4295 = 0{,}8205.
\frac{a(b-x)}{b(a-x)} = \frac{1{,}25\cdot 1{,}3705}{1{,}80\cdot 0{,}8205}\approx 1{,}1603.
\ln(1{,}1603)\approx 0{,}1485.
k\,t = \frac{0{,}1485}{0{,}55} \approx 0{,}2700.
Portanto
t = \frac{0{,}2700}{k} = \frac{0{,}2700}{0{,}0032}\approx 84{,}4\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Parte c) — tempo para conversão de A ser 70\%.
Definição de conversão: X=\dfrac{x}{a}. Se X=0{,}70 então x=0{,}70\,a. Com a=1{,}25,
x = 0{,}70\cdot 1{,}25 = 0{,}875\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
Logo
a-x = 1{,}25-0{,}875 = 0{,}375,\qquad b-x = 1{,}80-0{,}875 = 0{,}925.
Usamos novamente a lei integrada:
k\,t = \frac{1}{b-a}\ln\!\left(\frac{a(b-x)}{b(a-x)}\right) = \frac{1}{0{,}55}\ln\!\left(\frac{1{,}25\cdot 0{,}925}{1{,}80\cdot 0{,}375}\right).
Calculemos:
\frac{1{,}25\cdot 0{,}925}{1{,}80\cdot 0{,}375} = \frac{1{,}15625}{0{,}675} \approx 1{,}7120,
\ln(1{,}7120)\approx 0{,}538996,
k\,t = \frac{0{,}538996}{0{,}55}\approx 0{,}9791.
t = \frac{0{,}9791}{0{,}0032} \approx 305{,}97\\ \mathrm{s}\approx 306\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Parte d) — energia de ativação E_a usando a equação de Arrhenius.
A equação de Arrhenius diz
k = A\exp\!\left(-\frac{E_a}{R T}\right).
Para duas temperaturas T_1 e T_2 e constantes k_1 e k_2,
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right).
Aqui foi dado que k_2 = 3k_1 quando a temperatura aumenta \Delta T = 17{,}50^\circ\mathrm{C}. Sabemos T_1=300^\circ\mathrm{C}=573{,}15\\ \mathrm{K} e T_2=573{,}15+17{,}50=590{,}65\\ \mathrm{K}. Logo
\ln 3 = \frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{573{,}15}-\frac{1}{590{,}65}\right).
Rearranjando para E_a:
E_a = R\ln 3 \left(\frac{1}{573{,}15}-\frac{1}{590{,}65}\right)^{-1}.
Calculemos numericamente com R=8{,}314\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}:
\frac{1}{573{,}15}-\frac{1}{590{,}65}\approx 5{,}1842\times 10^{-5}\\ \mathrm{K}^{-1},
R\ln 3 \approx 8{,}314\cdot 1{,}098612\approx 9{,}1327,
E_a \approx \frac{9{,}1327}{5{,}1842\times 10^{-5}}\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\approx 1{,}76\times 10^{5}\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}.
Convertendo para kJ mol ^{-1}: E_a\approx 176\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}.

Resposta

(a) v_0 = 0,00720\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}
(b) t \approx 84{,}4\\ \mathrm{s}
(c) t \approx 306\\ \mathrm{s}
(d) E_a \approx 1{,}76\times 10^{5}\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\approx 176\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}

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