Um sistema massa-mola não amortecido com w=16,1 \mathrm{lb} tem um período natural de 0,5 \mathrm{~s}. Ele está sujeito a um impulso de 20 \mathrm{lb} / \mathrm{pol} de forma triangular, com duração de 0,40 \mathrm{~s}. Determinar o deslocamento máximo da massa.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o deslocamento máximo da massa:
  • Peso da massa: w=16,1\\ \mathrm{lb}.
  • Período natural do sistema: T=0,5\\ \mathrm{s}.
  • Força aplicada: pulso de forma triangular, duração total 0,40\\ \mathrm{s}, altura máxima do triângulo 20\\ \mathrm{lb}. (Interpreto o enunciado como um pulso triangular no tempo com pico 20\\ \mathrm{lb} e base 0,40\\ \mathrm{s}.)
  • O sistema é não amortecido (amortecimento nulo).
O que se pede: determinar o valor máximo do deslocamento da massa (ou seja, o maior |x(t)| obtido durante e depois da aplicação do pulso).

Passo 2

Vamos primeiro obter parâmetros do sistema e fixar unidades (usarei pés para comprimento, segundos para tempo e libras para força).
  1. Frequência natural angular \omega_n:
\omega_n=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{0,5}=4\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 12,5664\\ \mathrm{rad/s}.
  1. Massa m a partir do peso w. Em unidades inglesas, w=mg com g\approx 32\\ \mathrm{ft/s^2}. Então
m=\frac{w}{g}=\frac{16,1}{32}=0,503125\\ \mathrm{slug}.
Vou manter m e \omega_n para as fórmulas seguintes.

Passo 3

Formula de resposta para uma força F(t) aplicada a um sistema massa-mola não amortecido (condição nula para t<0): \n
A solução por integral de Duhamel (convolução) para o deslocamento é
x(t)=\frac{1}{m\,\omega_n}\int_{0}^{t}F(\tau)\,\sin\!\big(\omega_n(t-\tau)\big)\,d\tau.
Explicação didática rápida: \n
  • Essa fórmula vem de escrever a resposta particular como convolução da força com a função de resposta (impulso) do sistema. \n
  • A constante m é a massa, \omega_n é a frequência natural; a função \sin(\omega_n(t-\tau))/\omega_n é a resposta ao impulso unitário em um sistema não amortecido. \n
  • Em prática, para t após o fim do pulso (aqui t\ge 0,40\\ \mathrm{s}) a integral limita-se à duração do pulso (de 0 a 0,40) e a resposta passa a ser uma vibração livre com amplitude determinada pelas integrais da força multiplicadas por \sin e \cos.
Conveniente reescrever a integral para t\ge 0,40 (após o pulso) isolando os coeficientes:
x(t)=\frac{1}{m\,\omega_n}\Big[ \sin(\omega_n t)\int_{0}^{0,4}F(\tau)\cos(\omega_n\tau)\,d\tau \;-\; \cos(\omega_n t)\int_{0}^{0,4}F(\tau)\sin(\omega_n\tau)\,d\tau \Big].
Definimos
A=\int_{0}^{0,4}F(\tau)\cos(\omega_n\tau)\,d\tau,\qquad B=\int_{0}^{0,4}F(\tau)\sin(\omega_n\tau)\,d\tau,
então, para t\ge0,4,
x(t)=\frac{1}{m\omega_n}\big(\,A\sin(\omega_n t)-B\cos(\omega_n t)\,\big).

Passo 4

Expressão matemática do pulso triangular (peça-chave): \n
o pulso começa em t=0\), cresce linearmente até \(t=0,2\\ \mathrm{s}\) (meio do triângulo) atingindo \(20\\ \mathrm{lb}\), e decresce linearmente até \(t=0,4\\ \mathrm{s}\). Logo: \[F(\tau)=\begin{cases} 100\,\tau, & 0\le\tau\le 0,2,\\[4pt] 40-100\,\tau, & 0,2<\tau\le 0,4,\\[4pt] 0, & \tau>0,4. \end{cases}
Explicação: a rampa inicial tem coeficiente 20/0,2=100\] (lb/s) porque em \(0,2 s alcança 20 lb; na segunda metade a expressão linear que vale 20 em 0,2 e 0 em 0,4 é 40-100\tau.]

Passo 5

Calcular A e B. Vamos dividir as integrais conforme as duas partes do triângulo.
Primeiro, anotações úteis: \omega_n=4\pi, logo \omega_n\cdot 0,2=0,8\pi e \omega_n\cdot 0,4=1,6\pi. Usaremos as relações trigonométricas exatas:
\sin(0,8\pi)=\sin(144^\circ)=\sin(36^\circ)=0,58778525,\qquad \cos(0,8\pi)=\cos(144^\circ)=-0,80901699,
\sin(1,6\pi)=\sin(288^\circ)=-0,95105652,\qquad \cos(1,6\pi)=\cos(288^\circ)=0,30901699.
Agora calcular A:
A=\int_{0}^{0,2}100\tau\cos(\omega_n\tau)\,d\tau+\int_{0,2}^{0,4}(40-100\tau)\cos(\omega_n\tau)\,d\tau.
Usamos as primitivas
\int \tau\cos(\omega\tau)\,d\tau=\frac{\tau}{\omega}\sin(\omega\tau)+\frac{1}{\omega^2}\cos(\omega\tau)+C, \qquad \int \cos(\omega\tau)\,d\tau=\frac{1}{\omega}\sin(\omega\tau).
Calculando as parcelas (mostro os valores numéricos finais):
  • Para 0 a 0,2 obtém-se A_1\approx -0,20986.
  • Para 0,2 a 0,4 obtém-se A_2\approx -1,64074.
Somando:
A=A_1+A_2\approx -1,85060.
Agora calcular B:
B=\int_{0}^{0,2}100\tau\sin(\omega_n\tau)\,d\tau+\int_{0,2}^{0,4}(40-100\tau)\sin(\omega_n\tau)\,d\tau.
Usamos a primitiva
\int \tau\sin(\omega\tau)\,d\tau=-\frac{\tau}{\omega}\cos(\omega\tau)+\frac{1}{\omega^2}\sin(\omega\tau)+C.
Calculando as parcelas:
  • Para 0 a 0,2 obtém-se B_1\approx 1,65965.
  • Para 0,2 a 0,4 obtém-se B_2\approx -0,31299.
Somando:
B=B_1+B_2\approx 1,34666.
(Os passos de integração foram feitos explicitando as primitivas e avaliando nas extremidades; usei os valores trigonométricos exatos em múltiplos de \pi acima para obter os números mostrados.)

Passo 6

Montar a resposta livre para t\ge0,4. Usando m\omega_n como denominação:
m\omega_n = 0,503125\times 12,5663706 \approx 6,32250.
Logo os coeficientes são
\frac{A}{m\omega_n}\approx\frac{-1,85060}{6,32250}\approx -0,2927, \qquad \frac{B}{m\omega_n}\approx\frac{1,34666}{6,32250}\approx 0,2130.
Assim, para t\ge0,4:
x(t)=\big(-0,2927\big)\sin(\omega_n t)\;-\;0,2130\cos(\omega_n t).

Passo 7

Amplitude máxima da vibração livre (após o pulso): \n
Uma combinação da forma x(t)=C_1\sin(\omega_n t)+C_2\cos(\omega_n t) tem amplitude
R=\sqrt{C_1^2+C_2^2}.
Aqui C_1=-0,2927 e C_2=-0,2130 (observe sinal, o quadrado elimina sinal), então
R=\sqrt{(-0,2927)^2+(-0,2130)^2}\approx 0,3621\\ \mathrm{ft}.
Converter para polegadas (1 ft = 12 in):
R\approx 0,3621\times 12 \approx 4,345\\ \mathrm{in}.

Passo 8

Verificação rápida de que o máximo ocorre após o pulso (e não durante): calculei x(0,2)\approx 0,1929\\ \mathrm{ft} e x(0,4)\approx 0,2126\\ \mathrm{ft}; ambos são menores que R\approx 0,3621\\ \mathrm{ft}. Como o sistema é não amortecido, após o pulso a oscilação livre mantém amplitude R, que é maior que os deslocamentos durante o pulso. Portanto o deslocamento máximo do sistema é R.

Resposta

0,3621\\ \mathrm{ft}=4,345\\ \mathrm{in}

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