Um sistema massa-mola não amortecido com
tem um período natural de
. Ele está sujeito a um impulso de
de forma triangular, com duração de
. Determinar o deslocamento máximo da massa.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o deslocamento máximo da massa:
- Peso da massa:
. - Período natural do sistema:
. - Força aplicada: pulso de forma triangular, duração total
, altura máxima do triângulo . (Interpreto o enunciado como um pulso triangular no tempo com pico e base .) - O sistema é não amortecido (amortecimento nulo).
O que se pede: determinar o valor máximo do deslocamento da massa (ou seja, o maior
obtido durante e depois da aplicação do pulso).
Passo 2
Vamos primeiro obter parâmetros do sistema e fixar unidades (usarei pés para comprimento, segundos para tempo e libras para força).
- Frequência natural angular
:
- Massa
a partir do peso . Em unidades inglesas, com . Então
Vou manter
e
para as fórmulas seguintes.
Passo 3
Formula de resposta para uma força
aplicada a um sistema massa-mola não amortecido (condição nula para
): \n
A solução por integral de Duhamel (convolução) para o deslocamento é
A solução por integral de Duhamel (convolução) para o deslocamento é
Explicação didática rápida: \n
- Essa fórmula vem de escrever a resposta particular como convolução da força com a função de resposta (impulso) do sistema. \n
- A constante
é a massa, é a frequência natural; a função é a resposta ao impulso unitário em um sistema não amortecido. \n - Em prática, para
após o fim do pulso (aqui ) a integral limita-se à duração do pulso (de a ) e a resposta passa a ser uma vibração livre com amplitude determinada pelas integrais da força multiplicadas por e .
Conveniente reescrever a integral para
(após o pulso) isolando os coeficientes:
Definimos
então, para
,
Passo 4
Expressão matemática do pulso triangular (peça-chave): \n
o pulso começa em
Explicação: a rampa inicial tem coeficiente
s alcança 20 lb; na segunda metade a expressão linear que vale
em
e
em
é
.]
Passo 5
Calcular
e
. Vamos dividir as integrais conforme as duas partes do triângulo.
Primeiro, anotações úteis:
, logo
e
. Usaremos as relações trigonométricas exatas:
Agora calcular
:
Usamos as primitivas
Calculando as parcelas (mostro os valores numéricos finais):
- Para
a obtém-se . - Para
a obtém-se .
Somando:
Agora calcular
:
Usamos a primitiva
Calculando as parcelas:
- Para
a obtém-se . - Para
a obtém-se .
Somando:
(Os passos de integração foram feitos explicitando as primitivas e avaliando nas extremidades; usei os valores trigonométricos exatos em múltiplos de
acima para obter os números mostrados.)
Passo 6
Montar a resposta livre para
. Usando
como denominação:
Logo os coeficientes são
Assim, para
:
Passo 7
Amplitude máxima da vibração livre (após o pulso): \n
Uma combinação da forma tem amplitude
Uma combinação da forma
Aqui
e
(observe sinal, o quadrado elimina sinal), então
Converter para polegadas (1 ft = 12 in):
Passo 8
Verificação rápida de que o máximo ocorre após o pulso (e não durante): calculei
e
; ambos são menores que
. Como o sistema é não amortecido, após o pulso a oscilação livre mantém amplitude
, que é maior que os deslocamentos durante o pulso. Portanto o deslocamento máximo do sistema é
.