4-Deduza a expressão da capacitância para q_{\mathrm{m}} capacitor composto por duas placas planas, paralelas, de área A separadas por uma distância d e eletrizadas com densidade superficiais de carga \sigma e -\sigma.

Passo 1

O enunciado dá: duas placas planas e paralelas, cada uma de área A, separadas por uma distância d. As placas estão eletrizadas com densidades superficiais de carga \sigma e -\sigma. A tarefa é deduzir a expressão da capacitância do capacitor formado por essas duas placas.
Informações relevantes:
  • Área da placa: A.
  • Separação entre placas: d.
  • Densidades superficiais de carga: \sigma (na placa positiva) e -\sigma (na placa negativa).
  • Queremos a capacitância C do conjunto.

Passo 2

Lembrete fundamental (fórmula que liga carga, tensão e capacitância): a capacitância C é definida como a razão entre a carga armazenada em uma placa e a diferença de potencial (tensão) entre as placas:
C=\frac{Q}{V}.
Aqui Q é a carga de uma das placas (em módulo) e V é a diferença de potencial entre as placas. Vou explicar cada termo para ficar claro:
  • Q tem unidade coulomb ( \mathrm{C}).
  • V tem unidade volt ( \mathrm{V}).
  • C terá unidade farad ( \mathrm{F}=\mathrm{C}/\mathrm{V}).

Passo 3

Relação entre densidade superficial e carga total em uma placa: a densidade superficial de carga \sigma é definida como carga por unidade de área. Portanto a carga total (em módulo) numa placa de área A é
Q=\sigma A.
Isso é direto: se você tem \sigma coulombs por metro quadrado e A metros quadrados, multiplica para obter coulombs.

Passo 4

Precisamos calcular a diferença de potencial V entre as placas. Para isso primeiro encontramos o campo elétrico \mathbf{E} na região entre as placas. Usamos Gauss e a superposição de campos.
Primeiro, campo elétrico produzido por uma placa infinita com densidade superficial \sigma: pelo teorema de Gauss, o módulo do campo elétrico em cada lado de uma placa infinita uniformemente carregada é
E_{\text{placa}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Explicando rapidamente por que: considere uma “caixa-pílula” gaussiana atravessando a placa; o fluxo relativo às duas tampas dá 2EA e a carga interna é \sigma A; assim 2EA=\dfrac{\sigma A}{\varepsilon_0} e isolando E obtém-se a expressão acima.

Passo 5

Agora aplicamos superposição para as duas placas com cargas opostas. Cada placa sozinha produziria um campo de magnitude \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} em cada lado, orientado para fora da placa positiva e para dentro da placa negativa. Entre as placas esses campos têm a mesma direção e, portanto, se somam. Fora das placas (lado exterior) os campos se cancelam.
Logo, o campo elétrico entre as placas (em módulo) é
E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}+\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}.
Observação: essa conclusão usa a aproximação de placas grandes com A muito maior que d^2, de modo que podemos ignorar efeitos de borda (fringing).

Passo 6

Diferença de potencial entre as placas: a diferença de potencial V entre duas placas separadas por d ao longo de um campo uniforme E é simplesmente
V=\int_{\text{placa neg.}}^{\text{placa pos.}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} = E\,d,
usando o módulo e considerando a magnitude da diferença de potencial. Substituindo E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0} temos
V=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,d.

Passo 7

Agora juntamos tudo na definição de capacitância C=\dfrac{Q}{V}. Substituindo Q=\sigma A (Passo 3) e V=\dfrac{\sigma d}{\varepsilon_0} (Passo 6) obtemos
C=\frac{\sigma A}{\dfrac{\sigma d}{\varepsilon_0}}.
As \sigma cancelam, ficando
C=\frac{\varepsilon_0 A}{d}.

Passo 8

Interpretação e comentários práticos:
  • Essa é a fórmula clássica do capacitor de placas paralelas: C=\dfrac{\varepsilon_0 A}{d}.
  • Pressupostos necessários: placas muito grandes comparadas à separação (para desprezar bordas); campo uniforme entre as placas; meio entre as placas é vácuo (se houver um dielétrico de constante relativa \kappa, basta multiplicar \varepsilon_0 por \kappa, obtendo C=\dfrac{\kappa\varepsilon_0 A}{d}).
  • Verificação dimensional rápida: [\varepsilon_0]=\mathrm{F/m}, multiplicando por A e dividindo por d dá farads, coerente.

Resposta

C=\frac{\varepsilon_0 A}{d}

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