4-Deduza a expressão da capacitância para
capacitor composto por duas placas planas, paralelas, de área
separadas por uma distância
e eletrizadas com densidade superficiais de carga
e
.
Passo 1
O enunciado dá: duas placas planas e paralelas, cada uma de área
, separadas por uma distância
. As placas estão eletrizadas com densidades superficiais de carga
e
. A tarefa é deduzir a expressão da capacitância do capacitor formado por essas duas placas.
Informações relevantes:
- Área da placa:
. - Separação entre placas:
. - Densidades superficiais de carga:
(na placa positiva) e (na placa negativa). - Queremos a capacitância
do conjunto.
Passo 2
Lembrete fundamental (fórmula que liga carga, tensão e capacitância): a capacitância
é definida como a razão entre a carga armazenada em uma placa e a diferença de potencial (tensão) entre as placas:
Aqui
é a carga de uma das placas (em módulo) e
é a diferença de potencial entre as placas. Vou explicar cada termo para ficar claro:
-
tem unidade coulomb ( ). -
tem unidade volt ( ). -
terá unidade farad ( ).
Passo 3
Relação entre densidade superficial e carga total em uma placa: a densidade superficial de carga
é definida como carga por unidade de área. Portanto a carga total (em módulo) numa placa de área
é
Isso é direto: se você tem
coulombs por metro quadrado e
metros quadrados, multiplica para obter coulombs.
Passo 4
Precisamos calcular a diferença de potencial
entre as placas. Para isso primeiro encontramos o campo elétrico
na região entre as placas. Usamos Gauss e a superposição de campos.
Primeiro, campo elétrico produzido por uma placa infinita com densidade superficial
: pelo teorema de Gauss, o módulo do campo elétrico em cada lado de uma placa infinita uniformemente carregada é
onde
é a permissividade do vácuo. Explicando rapidamente por que: considere uma “caixa-pílula” gaussiana atravessando a placa; o fluxo relativo às duas tampas dá
e a carga interna é
; assim
e isolando
obtém-se a expressão acima.
Passo 5
Agora aplicamos superposição para as duas placas com cargas opostas. Cada placa sozinha produziria um campo de magnitude
em cada lado, orientado para fora da placa positiva e para dentro da placa negativa. Entre as placas esses campos têm a mesma direção e, portanto, se somam. Fora das placas (lado exterior) os campos se cancelam.
Logo, o campo elétrico entre as placas (em módulo) é
Observação: essa conclusão usa a aproximação de placas grandes com
muito maior que
, de modo que podemos ignorar efeitos de borda (fringing).
Passo 6
Diferença de potencial entre as placas: a diferença de potencial
entre duas placas separadas por
ao longo de um campo uniforme
é simplesmente
usando o módulo e considerando a magnitude da diferença de potencial. Substituindo
temos
Passo 7
Agora juntamos tudo na definição de capacitância
. Substituindo
(Passo 3) e
(Passo 6) obtemos
As
cancelam, ficando
Passo 8
Interpretação e comentários práticos:
- Essa é a fórmula clássica do capacitor de placas paralelas:
. - Pressupostos necessários: placas muito grandes comparadas à separação (para desprezar bordas); campo uniforme entre as placas; meio entre as placas é vácuo (se houver um dielétrico de constante relativa
, basta multiplicar por , obtendo ). - Verificação dimensional rápida:
, multiplicando por e dividindo por dá farads, coerente.