Um projétil de massa
é arremessado horizontalmente com velocidade
contra um bloco de massa M que está em repouso sobre uma superficie horizontal. Após a colisāo, o projétil fica encravado no bloco, e o sistema desloca-se uma distância
até parar. Qual e o coeficiente de atrito entre o bloco e a superficie?
(a) Nenhuma das outras alternativas
(b)
(c)
(d)
(e)
(a) Nenhuma das outras alternativas
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície, dado que um projétil de massa
é arremessado horizontalmente com velocidade
contra um bloco de massa
inicialmente em repouso; o projétil fica encravado no bloco (colisão totalmente inelástica) e, após a colisão, o conjunto (massa total
) desloca-se uma distância
até parar. Constantes/variáveis relevantes dadas:
(aceleração da gravidade). A pergunta é: qual é o coeficiente de atrito
entre o bloco e a superfície?
Passo 2
Primeiro passo físico importante: encontrar a velocidade imediatamente após a colisão. Em uma colisão muito rápida e sem forças horizontais externas significativas durante o impacto, a quantidade de movimento linear na direção horizontal é conservada. Isto significa que a soma dos momentos antes é igual à soma dos momentos imediatamente depois. Escrevemos a conservação do momento:
onde
é a velocidade do conjunto (projétil + bloco) logo após a colisão. Portanto, isolando
,
Explicação didática: quantidade de movimento (momento) é
. Conserva-se porque as forças externas horizontais atuam por tempo muito curto durante o impacto (impulso externo desprezível), enquanto as forças internas trocam momento entre projétil e bloco.
Passo 3
Observação sobre energia: a colisão é totalmente inelástica (projétil encravado), então parte da energia cinética inicial é dissipada (calor, deformação). Não podemos usar conservação de energia para a colisão. Porém, para o movimento após a colisão, podemos usar o Teorema do Trabalho e Energia: o trabalho realizado pelas forças dissipativas (aqui, o atrito) iguala a variação da energia cinética do sistema.
Passo 4
A energia cinética do conjunto imediatamente após a colisão é
A força de atrito cinético que atua sobre o bloco+projétil tem magnitude
pois a normal é
e a força de atrito é
vezes a normal. O trabalho (módulo) realizado por essa força ao deslocar o conjunto por
é
Pelo Teorema do Trabalho-Energia, o trabalho realizado pelo atrito é igual à perda de energia cinética até o repouso, logo
Passo 5
Simplificamos a expressão cancelando o fator
dos dois lados (desde que
, óbvio):
Agora isolamos
:
Explicação didática: isso mostra que o coeficiente de atrito é proporcional ao quadrado da velocidade inicial do conjunto (após colisão) e inversamente proporcional à distância de parada.
Passo 6
Substituímos a expressão de
obtida no Passo 2:
Logo,
Interpretação rápida (checagem de sentido): se
aumenta,
diminui (faz sentido: maior distância para parar indica menor atrito); se
aumenta,
aumenta (mais energia a dissipar, precisa de maior atrito para parar em mesma distância).
Resposta
(c)