Um projétil de massa m é arremessado horizontalmente com velocidade v_{i} contra um bloco de massa M que está em repouso sobre uma superficie horizontal. Após a colisāo, o projétil fica encravado no bloco, e o sistema desloca-se uma distância l até parar. Qual e o coeficiente de atrito entre o bloco e a superficie?
(a) Nenhuma das outras alternativas
(b) \frac{1}{g}\left(\frac{m v_{i}}{m+M}\right)^{2}
(c) \frac{2}{g l}\left(\frac{m v_{i}}{m+M}\right)^{2}
(d) \frac{1}{2 g}\left(\frac{m g}{m+g}\right)^{2}
(e) \frac{1}{2 g}\left(\frac{m v_{i}}{m+M}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície, dado que um projétil de massa \,m\, é arremessado horizontalmente com velocidade \,v_{i}\, contra um bloco de massa \,M\, inicialmente em repouso; o projétil fica encravado no bloco (colisão totalmente inelástica) e, após a colisão, o conjunto (massa total \,m+M\,) desloca-se uma distância \,l\, até parar. Constantes/variáveis relevantes dadas: \,m,\;M,\;v_{i},\;l,\;g (aceleração da gravidade). A pergunta é: qual é o coeficiente de atrito \,\mu\, entre o bloco e a superfície?

Passo 2

Primeiro passo físico importante: encontrar a velocidade imediatamente após a colisão. Em uma colisão muito rápida e sem forças horizontais externas significativas durante o impacto, a quantidade de movimento linear na direção horizontal é conservada. Isto significa que a soma dos momentos antes é igual à soma dos momentos imediatamente depois. Escrevemos a conservação do momento:
(m+M)\,v_{f} = m\,v_{i},
onde \,v_{f}\, é a velocidade do conjunto (projétil + bloco) logo após a colisão. Portanto, isolando \,v_{f}\,,
v_{f} = \frac{m\,v_{i}}{m+M}.
Explicação didática: quantidade de movimento (momento) é p= m v. Conserva-se porque as forças externas horizontais atuam por tempo muito curto durante o impacto (impulso externo desprezível), enquanto as forças internas trocam momento entre projétil e bloco.

Passo 3

Observação sobre energia: a colisão é totalmente inelástica (projétil encravado), então parte da energia cinética inicial é dissipada (calor, deformação). Não podemos usar conservação de energia para a colisão. Porém, para o movimento após a colisão, podemos usar o Teorema do Trabalho e Energia: o trabalho realizado pelas forças dissipativas (aqui, o atrito) iguala a variação da energia cinética do sistema.

Passo 4

A energia cinética do conjunto imediatamente após a colisão é
K = \frac{1}{2}(m+M)\,v_{f}^{2}.
A força de atrito cinético que atua sobre o bloco+projétil tem magnitude
F_{\text{atrito}} = \mu\,(m+M)\,g,
pois a normal é (m+M)g e a força de atrito é \mu vezes a normal. O trabalho (módulo) realizado por essa força ao deslocar o conjunto por \,l\, é
W = \mu\,(m+M)\,g\,l.
Pelo Teorema do Trabalho-Energia, o trabalho realizado pelo atrito é igual à perda de energia cinética até o repouso, logo
\frac{1}{2}(m+M)\,v_{f}^{2} = \mu\,(m+M)\,g\,l.

Passo 5

Simplificamos a expressão cancelando o fator (m+M) dos dois lados (desde que m+M\neq 0, óbvio):
\frac{1}{2}v_{f}^{2} = \mu\,g\,l.
Agora isolamos \mu:
\mu = \frac{v_{f}^{2}}{2 g l}.
Explicação didática: isso mostra que o coeficiente de atrito é proporcional ao quadrado da velocidade inicial do conjunto (após colisão) e inversamente proporcional à distância de parada.

Passo 6

Substituímos a expressão de \,v_{f}\, obtida no Passo 2:
v_{f} = \frac{m\,v_{i}}{m+M}.
Logo,
\mu = \frac{1}{2 g l}\left(\frac{m\,v_{i}}{m+M}\right)^{2}.
Interpretação rápida (checagem de sentido): se \,l\, aumenta, \,\mu\, diminui (faz sentido: maior distância para parar indica menor atrito); se \,v_{i}\, aumenta, \,\mu\, aumenta (mais energia a dissipar, precisa de maior atrito para parar em mesma distância).

Resposta

(c) \displaystyle \frac{1}{2 g l}\left(\frac{m v_{i}}{m+M}\right)^{2}

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