Uma menina e um menino estăo sentados em uma canoa que flutua sobre um lago de águas calmas. A menina se encontra na extremidade direita e o menino, cuja massa é maior, na extremidade esquerda. Inicialmente a canoa está em repouso em relação às margens. Em um dado instante, os dois trocam de lugar. É correto afirmar que:
(a) o barco se move para a esquerda
(b) o barco fica sempre parado
(c) o centro de massa do sistema se desloca para a esquerda
(e) o centro de massa do sistema se desloca para a direita
(2) todas as outras afirmativas são falsas

Passo 1

O enunciado dá uma canoa parada num lago e duas pessoas nela: a menina (na extremidade direita) e o menino (na extremidade esquerda), sendo o menino mais pesado que a menina. Em um instante eles trocam de lugar (cada um vai para a extremidade oposta). Perguntas / afirmações que temos que avaliar:
(a) o barco se move para a esquerda
(b) o barco fica sempre parado
(c) o centro de massa do sistema se desloca para a esquerda
(e) o centro de massa do sistema se desloca para a direita
(2) todas as outras afirmativas são falsas
Informações relevantes fornecidas: a canoa flutua num lago de águas calmas (isto sugere ausência de forças horizontais externas significativas), o menino tem massa maior que a menina, inicialmente tudo está em repouso em relação às margens, e depois eles trocam de lugar (movimento interno ao sistema canoa+menino+menina).

Passo 2

Definimos variáveis e um sistema de coordenadas simples para formalizar o problema. Escolho o eixo x horizontal, positivo para a direita. Denoto:
m_1
a massa do menino (maior),
m_2
a massa da menina (menor),
m_c
a massa da canoa (incluí-la é mais geral e não complica a conta),
x_C
a posição inicial do centro da canoa (no referencial fixo da margem),
d
a distância do centro da canoa até cada extremidade (logo o menino e a menina estão inicialmente em x_C-d e x_C+d, respectivamente).
Vamos também permitir que a canoa desloque uma quantidade \Delta x devido ao movimento interno.
Expliquei o que cada variável significa para você poder repetir isso na prova e desenhar mentalmente ou no rascunho.

Passo 3

Escrevo a posição do centro de massa (CM) do sistema “menino + menina + canoa” antes da troca de lugar. A fórmula do centro de massa unidimensional é a média ponderada das posições:
X_{CM}=\frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_c x_C}{m_1+m_2+m_c},
onde x_1, x_2 são as posições do menino e da menina respectivamente. Inicialmente:
x_1^{(i)}=x_C-d,\qquad x_2^{(i)}=x_C+d.
Substituindo:
X_{CM}^{(i)}=\frac{m_1(x_C-d)+m_2(x_C+d)+m_c x_C}{M},
onde usei M=m_1+m_2+m_c para simplificar a escrita.

Passo 4

Agora escrevo a posição do CM depois que eles trocam de lugar. Após a troca, o menino vai para a extremidade direita e a menina para a extremidade esquerda, e a canoa pode ter deslocado sua posição central para x_C' = x_C + \Delta x. Assim as posições finais são:
x_1^{(f)}=x_C+\Delta x + d,\qquad x_2^{(f)}=x_C+\Delta x - d.
A posição do CM final é
X_{CM}^{(f)}=\frac{m_1(x_C+\Delta x + d)+m_2(x_C+\Delta x - d)+m_c(x_C+\Delta x)}{M}.

Passo 5

Agora uso a razão física essencial: se não há força externa resultante na direção horizontal, a aceleração do centro de massa horizontal é zero e, portanto, a posição do centro de massa horizontal não muda. O enunciado diz “lago de águas calmas” e não há interação externa horizontal significativa (assumimos ausência de forças horizontais externas), então:
X_{CM}^{(f)} = X_{CM}^{(i)}.
Igualando as expressões (posso multiplicar ambos os lados por M para evitar frações):
m_1(x_C-d)+m_2(x_C+d)+m_c x_C = m_1(x_C+\Delta x + d)+m_2(x_C+\Delta x - d)+m_c(x_C+\Delta x).

Passo 6

Faço as contas para encontrar \Delta x. Primeiro simplifico termos semelhantes; no lado esquerdo os termos com x_C somam (m_1+m_2+m_c)x_C = M x_C e o termo com d é (-m_1 + m_2)d. No lado direito os termos com x_C+\Delta x somam M(x_C+\Delta x) e o termo com d é (m_1 - m_2)d. Então a igualdade vira:
M x_C + (-m_1 + m_2)d = M(x_C+\Delta x) + (m_1 - m_2)d.
Cancelo M x_C em ambos os lados e passo o termo com d para um único lado:
(-m_1 + m_2)d - (m_1 - m_2)d = M\Delta x.
Calculo o lado esquerdo:
(-m_1 + m_2) - (m_1 - m_2) = -m_1 + m_2 - m_1 + m_2 = 2(m_2 - m_1).
Logo
M\Delta x = 2(m_2 - m_1)d,
portanto
\Delta x = \frac{2(m_2 - m_1)d}{M}.

Passo 7

Interpreto o resultado. Como foi dado que o menino é mais pesado que a menina, temos m_1>m_2, logo m_2-m_1<0. Assim \Delta x<0, ou seja, a canoa desloca-se para a esquerda (lembre: escolhemos o eixo positivo para a direita, então deslocamento negativo = esquerda). Portanto a afirmação (a) “o barco se move para a esquerda” é verdadeira.
Além disso, porque assumimos ausência de força externa horizontal, o centro de massa do sistema permaneceu na mesma posição (não se deslocou nem para a esquerda nem para a direita). Assim as afirmações (c) e (e) são falsas, e (b) “o barco fica sempre parado” é falsa porque o barco, sim, desloca-se (a canoa se move para conservar a posição do CM). Logo somente (a) é verdadeira e todas as outras são falsas.

Passo 8

Para fixar a intuição, um exemplo numérico rápido: tome m_1=80\\ \text{kg}, m_2=40\\ \text{kg}, m_c=20\\ \text{kg} e d=2\\ \text{m}. Então M=140\\ \text{kg} e
\Delta x=\frac{2(40-80)\cdot 2}{140}=\frac{2(-40)\cdot 2}{140}=\frac{-160}{140}\approx -1,14\\ \text{m}.
Negativo significa 1,14 m para a esquerda — mostra concretamente que a canoa se desloca para a esquerda para manter o CM no mesmo lugar.

Resposta

(a) o barco se move para a esquerda
(2) todas as outras afirmativas são falsas

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