Uma menina e um menino estăo sentados em uma canoa que flutua sobre um lago de águas calmas. A menina se encontra na extremidade direita e o menino, cuja massa é maior, na extremidade esquerda. Inicialmente a canoa está em repouso em relação às margens. Em um dado instante, os dois trocam de lugar. É correto afirmar que:
(a) o barco se move para a esquerda
(b) o barco fica sempre parado
(c) o centro de massa do sistema se desloca para a esquerda
(e) o centro de massa do sistema se desloca para a direita
(2) todas as outras afirmativas são falsas
(a) o barco se move para a esquerda
(b) o barco fica sempre parado
(c) o centro de massa do sistema se desloca para a esquerda
(e) o centro de massa do sistema se desloca para a direita
(2) todas as outras afirmativas são falsas
Passo 1
O enunciado dá uma canoa parada num lago e duas pessoas nela: a menina (na extremidade direita) e o menino (na extremidade esquerda), sendo o menino mais pesado que a menina. Em um instante eles trocam de lugar (cada um vai para a extremidade oposta). Perguntas / afirmações que temos que avaliar:
(a) o barco se move para a esquerda
(b) o barco fica sempre parado
(c) o centro de massa do sistema se desloca para a esquerda
(e) o centro de massa do sistema se desloca para a direita
(2) todas as outras afirmativas são falsas
(a)
(b)
(c)
(e)
(2)
Informações relevantes fornecidas: a canoa flutua num lago de águas calmas (isto sugere ausência de forças horizontais externas significativas), o menino tem massa maior que a menina, inicialmente tudo está em repouso em relação às margens, e depois eles trocam de lugar (movimento interno ao sistema canoa+menino+menina).
Passo 2
Definimos variáveis e um sistema de coordenadas simples para formalizar o problema. Escolho o eixo
horizontal, positivo para a direita. Denoto:
a massa do menino (maior),
a massa da menina (menor),
a massa da canoa (incluí-la é mais geral e não complica a conta),
a posição inicial do centro da canoa (no referencial fixo da margem),
a distância do centro da canoa até cada extremidade (logo o menino e a menina estão inicialmente em
e
, respectivamente).
Vamos também permitir que a canoa desloque uma quantidade devido ao movimento interno.
Vamos também permitir que a canoa desloque uma quantidade
Expliquei o que cada variável significa para você poder repetir isso na prova e desenhar mentalmente ou no rascunho.
Passo 3
Escrevo a posição do centro de massa (CM) do sistema “menino + menina + canoa” antes da troca de lugar. A fórmula do centro de massa unidimensional é a média ponderada das posições:
onde
,
são as posições do menino e da menina respectivamente. Inicialmente:
Substituindo:
onde usei
para simplificar a escrita.
Passo 4
Agora escrevo a posição do CM depois que eles trocam de lugar. Após a troca, o menino vai para a extremidade direita e a menina para a extremidade esquerda, e a canoa pode ter deslocado sua posição central para
. Assim as posições finais são:
A posição do CM final é
Passo 5
Agora uso a razão física essencial: se não há força externa resultante na direção horizontal, a aceleração do centro de massa horizontal é zero e, portanto, a posição do centro de massa horizontal não muda. O enunciado diz “lago de águas calmas” e não há interação externa horizontal significativa (assumimos ausência de forças horizontais externas), então:
Igualando as expressões (posso multiplicar ambos os lados por
para evitar frações):
Passo 6
Faço as contas para encontrar
. Primeiro simplifico termos semelhantes; no lado esquerdo os termos com
somam
e o termo com
é
. No lado direito os termos com
somam
e o termo com
é
. Então a igualdade vira:
Cancelo
em ambos os lados e passo o termo com
para um único lado:
Calculo o lado esquerdo:
Logo
portanto
Passo 7
Interpreto o resultado. Como foi dado que o menino é mais pesado que a menina, temos
, logo
. Assim
, ou seja, a canoa desloca-se para a esquerda (lembre: escolhemos o eixo positivo para a direita, então deslocamento negativo = esquerda). Portanto a afirmação (a) “o barco se move para a esquerda” é verdadeira.
Além disso, porque assumimos ausência de força externa horizontal, o centro de massa do sistema permaneceu na mesma posição (não se deslocou nem para a esquerda nem para a direita). Assim as afirmações (c) e (e) são falsas, e (b) “o barco fica sempre parado” é falsa porque o barco, sim, desloca-se (a canoa se move para conservar a posição do CM). Logo somente (a) é verdadeira e todas as outras são falsas.
Passo 8
Para fixar a intuição, um exemplo numérico rápido: tome
,
,
e
. Então
e
Negativo significa 1,14 m para a esquerda — mostra concretamente que a canoa se desloca para a esquerda para manter o CM no mesmo lugar.
Resposta
(a) o barco se move para a esquerda
(2) todas as outras afirmativas são falsas
(2) todas as outras afirmativas são falsas