Deduza a expressão para o trabalho realizado por um gás ideal durante uma expansão ou compressão isotérmica.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
- Pede-se deduzir a expressão do trabalho realizado por um gás ideal durante uma expansão ou compressão isotérmica.
- Informações relevantes: o gás é ideal e o processo é isotérmico, ou seja, a temperatura
permanece constante durante todo o processo. - Observação importante: para obter uma expressão fechada para o trabalho precisamos conhecer como a pressão
varia com o volume ao longo do processo. A dedução clássica assume que o processo é reversível (quase-estático), o que permite igualar a pressão do gás à pressão externa infinitesimalmente próxima e usar a lei dos gases ideais para expressar em função de . Se o processo fosse irreversível e só se conhecesse a pressão externa constante, o resultado seria diferente. Vou derivar a expressão para o caso reversível (padrão em cursos), e explico por que essa escolha.
Passo 2
O que é “trabalho” em termodinâmica e convenções de sinal
- Em termodinâmica, o elemento infinitesimal de trabalho realizado pelo gás (trabalho realizado pelo sistema sobre o ambiente) em uma pequena mudança de volume é
onde
é a pressão exercida pelo gás (no caso reversível, igual à pressão externa instantânea).
- Convenção de sinais usada aqui: o trabalho
será positivo quando o gás realiza trabalho sobre o entorno (expansão, ) e negativo quando o trabalho é feito sobre o gás (compressão, ). - Outra convenção comum é usar
para o trabalho feito sobre o sistema; na prática é só um sinal trocado. Vou manter a convenção "trabalho pelo gás = ".
Passo 3
Expressão para o trabalho total entre volumes inicial e final
- O trabalho total realizado pelo gás ao ir de um volume inicial
a um volume final é a integral
- Para avaliar essa integral precisamos de
em função de ao longo do processo.
Passo 4
Lei dos gases ideais e condição isotérmica
- A lei dos gases ideais diz
onde:
-
é a pressão do gás, -
é o volume, -
é o número de mols do gás, -
é a constante universal dos gases ( ), -
é a temperatura absoluta (em kelvin). - Como o processo é isotérmico,
é constante. Para um processo reversível podemos substituir
na integral do trabalho.
Passo 5
Substituição na integral e fatoração de constantes
- Substituindo
em obtemos
- Como
, e são constantes ao longo do processo isotérmico, podem sair da integral:
Passo 6
Cálculo da integral e uso do logaritmo natural
- A integral de
é o logaritmo natural. Assim,
- Substituindo de volta:
Passo 7
Interpretação física, sinais e observações finais
- Interpretação do sinal:
- Se
(expansão), então e : o gás realiza trabalho sobre o entorno. - Se
(compressão), então e : o trabalho é realizado sobre o gás.
- Se
- Se alguém preferir a expressão do trabalho realizado sobre o gás, basta trocar o sinal:
- Observação termodinâmica útil: para um gás ideal em processo isotérmico
(energia interna depende só de ), então o calor trocado satisfaz (calor absorvido igual ao trabalho realizado pelo gás).