Deduza a expressão para o trabalho realizado por um gás ideal durante uma expansão ou compressão isotérmica.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Pede-se deduzir a expressão do trabalho realizado por um gás ideal durante uma expansão ou compressão isotérmica.
  • Informações relevantes: o gás é ideal e o processo é isotérmico, ou seja, a temperatura T permanece constante durante todo o processo.
  • Observação importante: para obter uma expressão fechada para o trabalho precisamos conhecer como a pressão P varia com o volume V ao longo do processo. A dedução clássica assume que o processo é reversível (quase-estático), o que permite igualar a pressão do gás à pressão externa infinitesimalmente próxima e usar a lei dos gases ideais para expressar P em função de V. Se o processo fosse irreversível e só se conhecesse a pressão externa constante, o resultado seria diferente. Vou derivar a expressão para o caso reversível (padrão em cursos), e explico por que essa escolha.

Passo 2

O que é “trabalho” em termodinâmica e convenções de sinal
  • Em termodinâmica, o elemento infinitesimal de trabalho realizado pelo gás (trabalho realizado pelo sistema sobre o ambiente) em uma pequena mudança de volume é
\delta W = P\,dV,
onde P é a pressão exercida pelo gás (no caso reversível, igual à pressão externa instantânea).
  • Convenção de sinais usada aqui: o trabalho W será positivo quando o gás realiza trabalho sobre o entorno (expansão, dV>0) e negativo quando o trabalho é feito sobre o gás (compressão, dV<0).
  • Outra convenção comum é usar \delta W = -P_{\text{ext}}\,dV para o trabalho feito sobre o sistema; na prática é só um sinal trocado. Vou manter a convenção "trabalho pelo gás = +\int P\,dV".

Passo 3

Expressão para o trabalho total entre volumes inicial e final
  • O trabalho total realizado pelo gás ao ir de um volume inicial V_i a um volume final V_f é a integral
W=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV.
  • Para avaliar essa integral precisamos de P em função de V ao longo do processo.

Passo 4

Lei dos gases ideais e condição isotérmica
  • A lei dos gases ideais diz
P V = n R T,
onde:
  • P é a pressão do gás,
  • V é o volume,
  • n é o número de mols do gás,
  • R é a constante universal dos gases ( R\approx 8,314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}),
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin).
  • Como o processo é isotérmico, T é constante. Para um processo reversível podemos substituir
P=\frac{nRT}{V}
na integral do trabalho.

Passo 5

Substituição na integral e fatoração de constantes
  • Substituindo P=\dfrac{nRT}{V} em W=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV obtemos
W=\int_{V_i}^{V_f}\frac{nRT}{V}\,dV.
  • Como n, R e T são constantes ao longo do processo isotérmico, podem sair da integral:
W=nRT\int_{V_i}^{V_f}\frac{1}{V}\,dV.

Passo 6

Cálculo da integral e uso do logaritmo natural
  • A integral de 1/V é o logaritmo natural. Assim,
\int_{V_i}^{V_f}\frac{1}{V}\,dV=[\ln V]_{V_i}^{V_f}=\ln V_f-\ln V_i=\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Substituindo de volta:
W=nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).

Passo 7

Interpretação física, sinais e observações finais
  • Interpretação do sinal:
    • Se V_f>V_i (expansão), então \ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right)>0 e W>0: o gás realiza trabalho sobre o entorno.
    • Se V_f<V_i (compressão), então \ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right)<0 e W<0: o trabalho é realizado sobre o gás.
  • Se alguém preferir a expressão do trabalho realizado sobre o gás, basta trocar o sinal:
W_{\text{on}}=-nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Observação termodinâmica útil: para um gás ideal em processo isotérmico \Delta U=0 (energia interna depende só de T), então o calor trocado Q satisfaz Q=W (calor absorvido igual ao trabalho realizado pelo gás).

Resposta

W=nRT\displaystyle \ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right)
W_{\text{on}}=-nRT\displaystyle \ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right)

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