Estime a pressão, temperatura e volume críticos para a água. Dados:
.
Passo 1
O enunciado pede que eu estime a pressão crítica, a temperatura crítica e o volume molar crítico para a água, usando os parâmetros fornecidos. Dados que recebemos:
-
. -
. - Vou usar a constante dos gases
(valor usual na unidade compatível com e ).
O que se pede: calcular numericamente
- a pressão crítica
, - a temperatura crítica
, - o volume molar crítico
.
Passo 2
Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar as variáveis. Partimos da equação de estado de van der Waals, escrita em forma molar:
onde:
-
é a pressão (em ), -
é a temperatura (em ), -
é o volume molar , -
e são os parâmetros fornecidos, -
é a constante dos gases.
No ponto crítico existe uma inflexão no diagrama
vs
à temperatura crítica, portanto as duas primeiras derivadas parciais de
em relação a
(a
constante) se anulam:
Vou derivar e resolver essas equações para obter fórmulas explícitas para
,
e
.
Passo 3
Calcular as derivadas de
em função de
. Da equação de van der Waals:
Primeira derivada (mantendo
constante):
Segunda derivada:
No crítico essas duas derivadas valem zero. Igualando a primeira a zero:
Igualando a segunda a zero:
Passo 4
Eliminar
dividindo a segunda igualdade pela primeira. Fazendo
o lado esquerdo simplifica para
e o direito para
. Assim:
Resolver esta equação para
:
Portanto a primeira fórmula obtenível é
Passo 5
Com
voltamos à relação que vinha da primeira derivada para achar
. Da igualdade
substituindo
obtém-se:
Simplificando:
Então a fórmula para
é
Passo 6
Finalmente, obter
substituindo
e
na equação de van der Waals. Mais simples é usar a relação padrão derivada das equações críticas (ou substituir diretamente):
Resumo das fórmulas usadas:
Passo 7
Agora aplico numericamente com os valores dados. Primeiro o volume crítico:
Passo 8
Temperatura crítica (usar
):
Calcular o numerador e denominador separadamente:
Calcular o numerador e denominador separadamente:
Portanto
Passo 9
Pressão crítica:
Calcular e depois
:
Calcular