O que acontece com o calor fornecido durante uma expansão isotérmica?

Passo 1

O que o enunciado pede: entender o que acontece com o calor fornecido a um gás quando ele sofre uma expansão isotérmica.
Informações relevantes (assumidas/implicitas para responder de forma padrão):
  • “Expansão isotérmica” significa que a temperatura do gás permanece constante durante o processo.
  • Vou usar as quantidades usuais: Q = calor fornecido ao sistema, W = trabalho realizado pelo sistema sobre o ambiente, U = energia interna do sistema, e n,R,T,V_i,V_f quando necessário.
  • Vou tratar primeiro do caso mais comum em cursos: gás ideal (mais adiante falo da diferença para gases reais).

Passo 2

Apresentando a fórmula essencial (primeira lei, forma usada aqui) e explicando cada termo:
\Delta U = Q - W.
Explicação das variáveis e da convenção de sinais:
  • \Delta U é a variação da energia interna do sistema (energia microscópica média das partículas).
  • Q é o calor recebido pelo sistema (positivo se o sistema absorve calor).
  • W é o trabalho realizado pelo sistema sobre o ambiente (positivo se o sistema faz trabalho sobre o ambiente).
    Essa equação diz: a energia interna muda pelo calor que entra menos o trabalho que sai.

Passo 3

Propriedade importante do gás ideal e consequência imediata:
Para um gás ideal a energia interna depende só da temperatura. Em forma prática:
\Delta U = n C_V \Delta T,
onde n é o número de mols, C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante, e \Delta T é a variação de temperatura. Em uma expansão isotérmica temos \Delta T=0, logo
\Delta U = 0.
Substituindo \Delta U=0 na primeira lei dá
0 = Q - W \quad\Rightarrow\quad Q = W.
Interpretação direta: todo o calor fornecido ao gás é convertido (no balanço macroscópico) em trabalho realizado pelo gás. A energia interna não muda porque a temperatura se mantém constante.

Passo 4

Como calcular o trabalho (caso reversível e gás ideal) — passo a passo didático:
  • Trabalho mecânico realizado numa expansão é
W=\int_{V_i}^{V_f} P\,\mathrm{d}V.
  • Para um gás ideal em equilíbrio (processo quasistático/reversível) vale a equação de estado
P=\frac{nRT}{V},
onde R é a constante universal dos gases e T é a temperatura (constante aqui).
  • Substituindo e integrando:
W=\int_{V_i}^{V_f}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V = nRT\int_{V_i}^{V_f}\frac{1}{V}\,\mathrm{d}V = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Como vimos em

Passo 5

Q = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Definições das variáveis usadas: n = número de mols, R = 8,314 J·mol{-1}·K{-1}, T = temperatura absoluta (K), V_i e V_f = volumes inicial e final.

Passo 6

Intuição microscópica e física da resposta:
  • Calor é energia desordenada que aumenta a energia térmica das partículas. Trabalho é energia organizada que vai, por exemplo, empurrar um pistão.
  • Numa expansão isotérmica o calor que entra é imediatamente usado para fazer o gás empurrar o pistão (fazer trabalho). Como a temperatura (energia cinética média) não muda, a energia interna fica constante — por isso todo o calor entra e sai como trabalho.

Passo 7

Casos especiais e advertências (para não tropeçar na prova):
  • Processo reversível vs. irreversível: a relação \Delta U=0\Rightarrow Q=W vale sempre para um gás ideal quando T é constante, independentemente de reversibilidade. O valor numérico de W depende do caminho: o trabalho máximo (reversível, quasistático) é nRT\ln(V_f/V_i); em processos irreversíveis W pode ser menor e, consequentemente, Q será menor na mesma proporção.
  • Gases reais: para gases reais a energia interna pode depender não só de T mas também de V (ou pressão). Nesses casos uma expansão à mesma temperatura pode produzir \Delta U\neq 0 e então nem sempre Q=W. Nas provas de graduação em exatas o enunciado normalmente deixa implícito o gás ideal se pede essa conclusão, então verifique o enunciado.
  • Expansão livre em vácuo (Joule): é um processo adiabático irreversível com W=0 e Q=0; para um gás ideal a temperatura não muda ( \Delta U=0) — isso não é o mesmo que “fornecer calor” durante uma expansão isotérmica mantida por um reservatório térmico.

Passo 8

Resumo prático (como responder rápido na prova):
  • Se for expansão isotérmica de um gás ideal: a variação da energia interna é zero, portanto todo calor fornecido ao sistema é utilizado para realizar trabalho. Logo Q=W. Para o caso reversível:
Q=W=nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).

Resposta

Durante uma expansão isotérmica de um gás ideal o calor fornecido é igual ao trabalho realizado pelo gás, não alterando a energia interna: Q=W e, no caso reversível, Q=W=nRT\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right).

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