Para todo inteiro n \geq 2, demonstre que vale a identidade
z^{n}-w^{n}=(z-w)\left(z^{n-1}+z^{n-2} w+\ldots+z^{2} w^{n-2}+w^{n-1}\right),
quaisquer que sejam os números z, w \in \mathbb{C}.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a fatoração da diferença de potências, um resultado clássico em álgebra que se baseia em uma soma geométrica. Vamos mostrar que, para todo inteiro n\ge2 e quaisquer z,w\in\mathbb{C}, vale
z^{n}-w^{n}=(z-w)\bigl(z^{n-1}+z^{n-2}w+\cdots+z\,w^{n-2}+w^{n-1}\bigr).

Passo 2

Defina a soma
S \;=\;\sum_{k=0}^{n-1} z^{\,n-1-k}\,w^k \;=\; z^{n-1}+z^{n-2}w+\cdots+z\,w^{n-2}+w^{n-1}.
Nosso objetivo é mostrar que (z - w)\,S = z^n - w^n.

Passo 3

Calcule zS e wS:
zS \;=\;\sum_{k=0}^{n-1} z^{\,n-k}\,w^k \;=\; z^n + z^{n-1}w + \cdots + z\,w^{n-1},
wS \;=\;\sum_{k=0}^{n-1} z^{\,n-1-k}\,w^{\,k+1} \;=\; z^{n-1}w + z^{n-2}w^2 + \cdots + w^n.

Passo 4

Subtraindo, a maioria dos termos cancela em telescópio:
zS - wS = \bigl(z^n + z^{n-1}w + \cdots + z\,w^{n-1}\bigr) - \bigl(z^{n-1}w + \cdots + w^n\bigr) = z^n - w^n.
Logo,
(z-w)\,S \;=\; z^n - w^n.

Resposta

z^{n}-w^{n}=(z-w)\bigl(z^{n-1}+z^{n-2}w+\cdots+z\,w^{n-2}+w^{n-1}\bigr).

Exercícios relacionados