Para todo inteiro
, demonstre que vale a identidade
quaisquer que sejam os números
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a fatoração da diferença de potências, um resultado clássico em álgebra que se baseia em uma soma geométrica. Vamos mostrar que, para todo inteiro
e quaisquer
, vale
Passo 2
Defina a soma
Nosso objetivo é mostrar que
.
Passo 3
Calcule
e
:
Passo 4
Subtraindo, a maioria dos termos cancela em telescópio:
Logo,