Deduza fórmula de redução semelhante a do exemplo 11 para

$\int \operatorname{sen}^{n}(x) d x$

O enunciado pede para deduzir uma fórmula de redução para

\int \operatorname{sen}^{n}(x)\,dx.

Esse tipo de problema usa integração por partes para expressar a integral de potência

n

em termos da potência

n-2

Definimos

I_{n} = \int \operatorname{sen}^{n}(x)\,dx

e aplicamos integração por partes escolhendo

u = \operatorname{sen}^{n-1}(x), \quad dv = \operatorname{sen}(x)\,dx.

Então

du = (n-1)\,\operatorname{sen}^{n-2}(x)\cos(x)\,dx, \quad v = -\cos(x).

Substituindo na fórmula de partes, vem

I_{n} = -\operatorname{sen}^{n-1}(x)\cos(x) + (n-1)\int \operatorname{sen}^{n-2}(x)\cos^{2}(x)\,dx.

Usamos

\cos^{2}(x)=1-\operatorname{sen}^{2}(x)

para separar a integral:

I_{n} = -\operatorname{sen}^{n-1}(x)\cos(x) + (n-1)\int \operatorname{sen}^{n-2}(x)\,dx - (n-1)\int \operatorname{sen}^{n}(x)\,dx.

Reconhecemos o último termo como

(n-1)I_{n}

Agrupando os

I_{n}

no lado esquerdo, temos

I_{n} + (n-1)I_{n} = -\operatorname{sen}^{n-1}(x)\cos(x) + (n-1)I_{n-2},

n\,I_{n} = -\operatorname{sen}^{n-1}(x)\cos(x) + (n-1)I_{n-2}.

Dividindo por

n

, obtemos a fórmula de redução desejada.

\int \operatorname{sen}^{n}(x)\,dx = -\frac{1}{n}\,\operatorname{sen}^{n-1}(x)\cos(x) + \frac{n-1}{n}\int \operatorname{sen}^{n-2}(x)\,dx + C.

Deduza fórmula de redução semelhante a do exemplo 11 para \int \operatorname{sen}^{n}(x) d x