Deduza a frequência de corte para o filtro passa-baixa e passa-alta Sallen Key (Cálculos obrigatórios).
Passo 1
O que o exercício pede:
- Deduzir (obter por cálculo) a frequência de corte do filtro Sallen–Key passa‑baixa e do Sallen–Key passa‑alta.
Informações/assunções que vou usar (topologias padrão):
- Componentes do circuito:
. - Amplificador operacional ideal (entrada de corrente nula, ganância infinita, saída capaz de seguir o nó de entrada não inversora quando usado como seguidor ou amplificador não‑inversor).
- Para cada topologia vou escrever as equações nodais, obter a função de transferência
e identificar a frequência natural (que relaciona a frequência de corte). A partir de obtenho . - Não são dados valores numéricos; a dedução será simbólica em função de
.
Passo 2
Definição prática de “frequência de corte” que vou usar:
- Em um segundo‑ordem, a frequência natural (ou frequência própria) do denominador da função de transferência é
- A frequência de corte padrão associada à configuração passiva do filtro é
.
Observação: o ponto de atenuaçãodepende do fator de qualidade ; aqui o objetivo é deduzir em função dos elementos.
Passo 3
Topologia passa‑baixa (Sallen–Key LP) — descrição do circuito e incógnitas:
- Estrutura usual usada aqui:
ligado a ; nó entre e chama‑se ; liga ao nó ; é a entrada não‑inversa do op‑amp; capacitores de a terra e de a terra. O op‑amp fornece a saída que, no caso de seguidor, tem . (Essa é a topologia padrão; a dedução abaixo usa o caso de seguidor para simplificar a escrita — o resultado para será o mesmo nas variações usuais.) - Vou escrever as equações nodais em
e no domínio de Laplace com .
Passo 4
Equações nodais para o passa‑baixa (usar
e impedâncias de capacitores
):
- Impedâncias:
. - KCL em
: corrente de para por equals corrente de para por mais corrente de para terra por . Em equação:
- KCL em
: corrente de para por equals corrente de para terra por (entrada do op‑amp ideal não toma corrente):
Passo 5
Resolver as equações (passo a passo algébricos) para
:
- Da segunda equação isolamos
:
- Substituir em KCL de
:
- Multiplicando por
e substituindo :
- Substituir
:
- Factorizar
:
- Reorganizando termos (colocando o termo em
por primeiro):
- Assim a função de transferência (para saída no nó do buffer
, e para seguidor ) é:
Passo 6
Identificar
a partir do denominador padrão de uma segunda ordem:
- Forma padrão:
. - Para igualar, divido o denominador por
:
- Portanto a frequência natural ao quadrado é
logo
- A frequência de corte em Hz (usualmente associada a essa
) é
(Observação: o fator de qualidade
é dado por
, que influencia a forma da resposta em torno de
, mas a expressão de
independe do
.)
Passo 7
Topologia passa‑alta (Sallen–Key HP) — descrição e princípio:
- Topologia dual: capacitores em série na entrada e resistores para terra nos nós intermediários. Em palavras:
passa por até nó , depois por até nó ; resistores de a terra e de a terra; o op‑amp lê e atua como seguidor (ou amplificador não‑inversor). A estrutura é o dual da passa‑baixa, então a dedução segue por simetria trocando .
Passo 8
Equações nodais e derivação para o passa‑alta (detalhes algébricos):
- No domínio
, impedância de é . Para trabalhar de forma direta, é prático multiplicar por e usar as admitâncias quando apropriado. - KCL em
(corrente de de para = corrente por de para + corrente por para terra):
- KCL em
(corrente de de para = corrente por para terra, op‑amp não puxa corrente):
- Resolver a segunda para
:
- Substituir na primeira e, após manipulação algébrica (analogamente ao caso LP, apenas trocando papéis de
e ), chega‑se à forma:
- Neste formato já se vê que o denominador é o mesmo polinômio do caso passa‑baixa; apenas o numerador mudou (contendo
), característico de um passa‑alta de segunda ordem.
Passo 9
Identificar
para o passa‑alta:
- O denominador é idêntico ao do passa‑baixa, portanto a frequência natural é a mesma:
- Conclusão: tanto na configuração passa‑baixa quanto na passa‑alta Sallen–Key (topologias padrão) a expressão para a frequência natural (e, por consequência, a frequência característica do filtro) é a mesma.