Deduza a frequência de corte para o filtro passa-baixa e passa-alta Sallen Key (Cálculos obrigatórios).

Passo 1

O que o exercício pede:
  • Deduzir (obter por cálculo) a frequência de corte do filtro Sallen–Key passa‑baixa e do Sallen–Key passa‑alta.
Informações/assunções que vou usar (topologias padrão):
  • Componentes do circuito: R_1,\;R_2,\;C_1,\;C_2.
  • Amplificador operacional ideal (entrada de corrente nula, ganância infinita, saída capaz de seguir o nó de entrada não inversora quando usado como seguidor ou amplificador não‑inversor).
  • Para cada topologia vou escrever as equações nodais, obter a função de transferência H(s)=V_{out}/V_{in} e identificar a frequência natural \omega_0 (que relaciona a frequência de corte). A partir de \omega_0 obtenho f_c=\dfrac{\omega_0}{2\pi}.
  • Não são dados valores numéricos; a dedução será simbólica em função de R_1,R_2,C_1,C_2.

Passo 2

Definição prática de “frequência de corte” que vou usar:
  • Em um segundo‑ordem, a frequência natural (ou frequência própria) do denominador da função de transferência é
\omega_0=\text{frequência natural}=\sqrt{\text{termo constante do denominador}^{-1}}.ê
  • A frequência de corte padrão associada à configuração passiva do filtro é \displaystyle f_c=\frac{\omega_0}{2\pi}.
    Observação: o ponto de atenuação -3\\ \text{dB} depende do fator de qualidade Q; aqui o objetivo é deduzir \omega_0 em função dos elementos.

Passo 3

Topologia passa‑baixa (Sallen–Key LP) — descrição do circuito e incógnitas:
  • Estrutura usual usada aqui: V_{in} ligado a R_1; nó entre R_1 e R_2 chama‑se V_1; R_2 liga V_1 ao nó V_2; V_2 é a entrada não‑inversa do op‑amp; capacitores C_1 de V_1 a terra e C_2 de V_2 a terra. O op‑amp fornece a saída V_{out} que, no caso de seguidor, tem V_{out}=V_2. (Essa é a topologia padrão; a dedução abaixo usa o caso de seguidor para simplificar a escrita — o resultado para \omega_0 será o mesmo nas variações usuais.)
  • Vou escrever as equações nodais em V_1 e V_2 no domínio de Laplace com s.

Passo 4

Equações nodais para o passa‑baixa (usar s e impedâncias de capacitores \dfrac{1}{sC}):
  • Impedâncias: Z_{C1}=\dfrac{1}{sC_1},\;Z_{C2}=\dfrac{1}{sC_2}.
  • KCL em V_1: corrente de V_{in} para V_1 por R_1 equals corrente de V_1 para V_2 por R_2 mais corrente de V_1 para terra por C_1. Em equação:
\frac{V_{in}-V_1}{R_1}=\frac{V_1-V_2}{R_2}+sC_1 V_1.
  • KCL em V_2: corrente de V_1 para V_2 por R_2 equals corrente de V_2 para terra por C_2 (entrada do op‑amp ideal não toma corrente):
\frac{V_1-V_2}{R_2}=sC_2 V_2.

Passo 5

Resolver as equações (passo a passo algébricos) para H(s)=\dfrac{V_2}{V_{in}}:
  • Da segunda equação isolamos V_1:
V_1 = V_2\big(1+sC_2 R_2\big).
  • Substituir em KCL de V_1:
\frac{V_{in}-V_1}{R_1}=sC_2 V_2 + sC_1 V_1.
  • Multiplicando por R_1 e substituindo V_1:
V_{in}=V_1 + R_1\big(sC_2 V_2 + sC_1 V_1\big).
  • Substituir V_1=V_2(1+sC_2 R_2):
V_{in}=V_2(1+sC_2 R_2) + R_1\Big(sC_2 V_2 + sC_1 V_2(1+sC_2 R_2)\Big).
  • Factorizar V_2:
V_{in}=V_2\Big[1 + sC_2 R_2 + sR_1 C_2 + sR_1 C_1 + s^2 R_1 C_1 C_2 R_2\Big].
  • Reorganizando termos (colocando o termo em s^2 por primeiro):
V_{in}=V_2\Big[ s^2 R_1 R_2 C_1 C_2 + s\big(R_1 C_1 + R_1 C_2 + R_2 C_2\big) + 1\Big].
  • Assim a função de transferência (para saída no nó do buffer V_2, e para seguidor V_{out}=V_2) é:
H_{LP}(s)=\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{1}{s^2 R_1 R_2 C_1 C_2 + s\big(R_1 C_1 + R_1 C_2 + R_2 C_2\big) + 1}.

Passo 6

Identificar \omega_0 a partir do denominador padrão de uma segunda ordem:
  • Forma padrão: \displaystyle s^2 + s\frac{\omega_0}{Q} + \omega_0^2.
  • Para igualar, divido o denominador por R_1 R_2 C_1 C_2:
s^2 + s\frac{R_1 C_1 + R_1 C_2 + R_2 C_2}{R_1 R_2 C_1 C_2} + \frac{1}{R_1 R_2 C_1 C_2}.
  • Portanto a frequência natural ao quadrado é
\omega_0^2=\frac{1}{R_1 R_2 C_1 C_2},
logo
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}}.
  • A frequência de corte em Hz (usualmente associada a essa \omega_0) é
f_c=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{1}{2\pi\sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}}.
(Observação: o fator de qualidade Q é dado por \displaystyle Q=\frac{\sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}}{R_1 C_1 + R_1 C_2 + R_2 C_2}, que influencia a forma da resposta em torno de \omega_0, mas a expressão de \omega_0 independe do Q.)

Passo 7

Topologia passa‑alta (Sallen–Key HP) — descrição e princípio:
  • Topologia dual: capacitores em série na entrada e resistores para terra nos nós intermediários. Em palavras: V_{in} passa por C_1 até nó V_1, depois por C_2 até nó V_2; resistores R_1 de V_1 a terra e R_2 de V_2 a terra; o op‑amp lê V_2 e atua como seguidor (ou amplificador não‑inversor). A estrutura é o dual da passa‑baixa, então a dedução segue por simetria trocando R\leftrightarrow C.

Passo 8

Equações nodais e derivação para o passa‑alta (detalhes algébricos):
  • No domínio s, impedância de C é 1/(sC). Para trabalhar de forma direta, é prático multiplicar por s e usar as admitâncias sC quando apropriado.
  • KCL em V_1 (corrente de C_1 de V_{in} para V_1 = corrente por C_2 de V_1 para V_2 + corrente por R_1 para terra):
sC_1\big(V_{in}-V_1\big)=sC_2\big(V_1-V_2\big)+\frac{V_1}{R_1}.
  • KCL em V_2 (corrente de C_2 de V_1 para V_2 = corrente por R_2 para terra, op‑amp não puxa corrente):
sC_2\big(V_1-V_2\big)=\frac{V_2}{R_2}.
  • Resolver a segunda para V_1:
V_1 = V_2\left(1+\frac{1}{sC_2 R_2}\right).
  • Substituir na primeira e, após manipulação algébrica (analogamente ao caso LP, apenas trocando papéis de R e C), chega‑se à forma:
H_{HP}(s)=\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{s^2 R_1 R_2 C_1 C_2}{s^2 R_1 R_2 C_1 C_2 + s\big(R_1 C_1 + R_1 C_2 + R_2 C_2\big) + 1}.
  • Neste formato já se vê que o denominador é o mesmo polinômio do caso passa‑baixa; apenas o numerador mudou (contendo s^2 R_1 R_2 C_1 C_2), característico de um passa‑alta de segunda ordem.

Passo 9

Identificar \omega_0 para o passa‑alta:
  • O denominador é idêntico ao do passa‑baixa, portanto a frequência natural é a mesma:
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}}, \qquad f_c=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{1}{2\pi\sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}}.
  • Conclusão: tanto na configuração passa‑baixa quanto na passa‑alta Sallen–Key (topologias padrão) a expressão para a frequência natural (e, por consequência, a frequência característica do filtro) é a mesma.

Resposta

f_c=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}} (passa‑baixa)
f_c=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}} (passa‑alta)

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