Deduza a “relação de Gibbs-Duhem” na representação de entropia,
d\left(\frac{\mu}{T}\right)=u d\left(\frac{1}{T}\right)+v d\left(\frac{p}{T}\right) .

Passo 1

O que o enunciado pede: deduzir a relação
d\!\left(\frac{\mu}{T}\right)=u\,d\!\left(\frac{1}{T}\right)+v\,d\!\left(\frac{p}{T}\right).
Informações relevantes fornecidas / que usamos:
  • S é a função de estado entropia dependendo de U, V e N: S=S(U,V,N).
  • Variáveis termodinâmicas: T (temperatura), p (pressão), \mu (potencial químico).
  • Definições de quantidades por unidade de quantidade de matéria (molar/específica): u=U/N e v=V/N.
  • Usaremos a forma diferencial fundamental da entropia (relação de Gibbs): a expressão a seguir será usada como dado inicial.

Passo 2

Escrevemos a relação fundamental (Gibbs) para S(U,V,N). Essa relação diz como a entropia varia com pequenas mudanças de energia interna, volume e número de partículas:
dS=\frac{1}{T}\,dU+\frac{p}{T}\,dV-\frac{\mu}{T}\,dN.
Explicando cada termo (rápido e direto):
  • \left(\dfrac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}=\dfrac{1}{T}: a derivada parcial de S em relação a U (mantendo V,N fixos) define 1/T.
  • \left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}=\dfrac{p}{T}: derivada parcial em relação a V p/T.
  • \left(\dfrac{\partial S}{\partial N}\right)_{U,V}=-\dfrac{\mu}{T}: derivada parcial em relação a N -\mu/T.
    Essas igualdades vêm da termodinâmica e da definição de T,p,\mu a partir de S(U,V,N).

Passo 3

Agora usamos a propriedade de extensividade de S. Para um sistema termodinâmico simples e extenso vale
S(\lambda U,\lambda V,\lambda N)=\lambda S(U,V,N)\quad\text{para todo }\lambda.
Pelo teorema de Euler para funções homogêneas de grau 1, isso implica
S=U\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}+V\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}+N\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{U,V}.
Substituindo as derivadas parciais obtidas no Passo 2 obtemos a relação de Euler específica para S:
S=\frac{1}{T}U+\frac{p}{T}V-\frac{\mu}{T}N.

Passo 4

Diferenciamos a expressão de Euler obtida no Passo 3. Aplicando a regra do produto (cada termo é produto de uma grandeza por função de T,p,\mu):
dS = U\,d\!\left(\frac{1}{T}\right)+\frac{1}{T}\,dU+V\,d\!\left(\frac{p}{T}\right)+\frac{p}{T}\,dV - N\,d\!\left(\frac{\mu}{T}\right)-\frac{\mu}{T}\,dN.
Note que aqui tratamos U,V,N e também T,p,\mu como potencialmente dependentes das variáveis de estado; por isso apareceu a combinação de termos.

Passo 5

Comparamos a expressão acima para dS com a relação fundamental do Passo 2:
\frac{1}{T}\,dU+\frac{p}{T}\,dV-\frac{\mu}{T}\,dN =U\,d\!\left(\frac{1}{T}\right)+\frac{1}{T}\,dU+V\,d\!\left(\frac{p}{T}\right)+\frac{p}{T}\,dV - N\,d\!\left(\frac{\mu}{T}\right)-\frac{\mu}{T}\,dN.
Agora cancelam-se os termos idênticos em ambos os lados: \dfrac{1}{T}\,dU, \dfrac{p}{T}\,dV e -\dfrac{\mu}{T}\,dN. Ficamos com a igualdade simples
0=U\,d\!\left(\frac{1}{T}\right)+V\,d\!\left(\frac{p}{T}\right)-N\,d\!\left(\frac{\mu}{T}\right).

Passo 6

Rearranjando a igualdade do Passo 5 e dividindo por N (passando para quantidades por partícula/mola), definindo u=U/N e v=V/N, obtemos
d\!\left(\frac{\mu}{T}\right)=u\,d\!\left(\frac{1}{T}\right)+v\,d\!\left(\frac{p}{T}\right).
Essa é exatamente a relação de Gibbs–Duhem na representação de entropia pedida.

Resposta

d\!\left(\frac{\mu}{T}\right)=u\,d\!\left(\frac{1}{T}\right)+v\,d\!\left(\frac{p}{T}\right)

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