Dois subsistemas particulares, separados por uma parede diatérmica, obedecem às equações de estado
\frac{1}{T_{1}}=\frac{3}{2} R \frac{N_{1}}{U_{1}} \quad \text { e } \quad \frac{1}{T_{2}}=\frac{5}{2} R \frac{N_{2}}{U_{2}},
em que R é a constante dos gases e N_{i} representa o número de mols em cada sistema, com N_{1}=2 e N_{2}=3. Inicialmente, o sistema 1 está a uma temperatura T_{1}=250 \mathrm{~K} e o sistema 2 está a uma temperatura T_{2}=350 \mathrm{~K}. Após o equilíbrio ser atingido, determine:
as energias internas U_{1} e U_{2} dos subsistemas;

Passo 1

O enunciado nos dá duas equações de estado para os subsistemas separados por parede diatérmica e pede as energias internas após o equilíbrio. Dados extraídos do enunciado:
  • Equações de estado:
\frac{1}{T_{1}}=\frac{3}{2}R\frac{N_{1}}{U_{1}}, \qquad \frac{1}{T_{2}}=\frac{5}{2}R\frac{N_{2}}{U_{2}}.
  • Números de mols: \,N_{1}=2\,,\;N_{2}=3\,.
  • Temperaturas iniciais: \,T_{1}^{(i)}=250\\ \mathrm{K}\,,\;T_{2}^{(i)}=350\\ \mathrm{K}.
    O que o enunciado pede: determinar as energias internas finais U_{1} e U_{2} dos subsistemas depois que o equilíbrio térmico é atingido.

Passo 2

Vamos manipular as equações dadas para obter uma expressão direta de U_{i} em função de T_{i}. Isso é só álgebra elementar: inverter a relação para isolar U_{i}.
Da primeira equação:
\frac{1}{T_{1}}=\frac{3}{2}R\frac{N_{1}}{U_{1}}
multiplicando ambos os lados por U_{1} e dividindo por \dfrac{1}{T_{1}} obtemos
U_{1}=\frac{3}{2}R\,N_{1}\,T_{1}.
Analogamente, da segunda equação:
U_{2}=\frac{5}{2}R\,N_{2}\,T_{2}.
Aqui é bom entender o que essas fórmulas significam: para cada subsistema a energia interna é proporcional ao número de mols N, à temperatura T e a um coeficiente (aqui \tfrac{3}{2}R ou \tfrac{5}{2}R) que surge diretamente da equação de estado dada.

Passo 3

Vamos calcular as energias internas iniciais (antes da troca térmica) apenas para ter o total de energia inicial. Escolho o valor usual da constante dos gases:
R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Usando as fórmulas do passo anterior com as temperaturas iniciais:
U_{1}^{(i)}=\frac{3}{2}R\,N_{1}\,T_{1}^{(i)}=\frac{3}{2}\cdot R\cdot 2\cdot 250.
Simplificando \tfrac{3}{2}\cdot 2 =3, então
U_{1}^{(i)}=3R\cdot 250.
Substituindo R:
U_{1}^{(i)}=3\cdot 8{,}314\cdot 250.
Agora U_{2}^{(i)}:
U_{2}^{(i)}=\frac{5}{2}R\,N_{2}\,T_{2}^{(i)}=\frac{5}{2}\cdot R\cdot 3\cdot 350.
Aqui \tfrac{5}{2}\cdot 3 = \tfrac{15}{2}=7{,}5, então
U_{2}^{(i)}=7{,}5\,R\cdot 350.
Se desejar calcular numérico neste ponto:
U_{1}^{(i)}=3\cdot 8{,}314\cdot 250=6\,235{,}5\\ \mathrm{J},
U_{2}^{(i)}=7{,}5\cdot 8{,}314\cdot 350=21\,824{,}25\\ \mathrm{J}.
Total inicial:
U_{\text{tot}}^{(i)}=U_{1}^{(i)}+U_{2}^{(i)}=6\,235{,}5+21\,824{,}25=28\,059{,}75\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Ao permitir troca de calor pela parede diatérmica e assumindo que o conjunto total é isolado (nenhuma energia entra ou sai do conjunto), a energia interna total é conservada. Logo:
U_{1}^{(f)}+U_{2}^{(f)}=U_{1}^{(i)}+U_{2}^{(i)}=U_{\text{tot}}^{(i)}.
Usando as expressões do Passo 2 para as energias finais em função da temperatura final comum T^{(f)}:
U_{1}^{(f)}=\frac{3}{2}R\,N_{1}\,T^{(f)}=3R\,T^{(f)},
U_{2}^{(f)}=\frac{5}{2}R\,N_{2}\,T^{(f)}=7{,}5R\,T^{(f)}.
Portanto a conservação de energia dá
3R\,T^{(f)}+7{,}5R\,T^{(f)}=U_{\text{tot}}^{(i)}.

Passo 5

Fatorando R\,T^{(f)} na equação anterior:
(3+7{,}5)R\,T^{(f)}=10{,}5\,R\,T^{(f)}=U_{\text{tot}}^{(i)}.
Note que o fator R aparece em todos os termos e pode ser simplificado, portanto T^{(f)} independe do valor numérico de R. Isolando T^{(f)}:
T^{(f)}=\frac{U_{\text{tot}}^{(i)}}{10{,}5\,R}.
Mas é mais direto usar a forma com as temperaturas iniciais sem computar primeiro U_{\text{tot}}^{(i)}. Substituindo U_{1}^{(i)}=3R\,T_{1}^{(i)} e U_{2}^{(i)}=7{,}5R\,T_{2}^{(i)} na conservação,
3R\,T^{(f)}+7{,}5R\,T^{(f)}=3R\,T_{1}^{(i)}+7{,}5R\,T_{2}^{(i)}.
Dividindo ambos os lados por R e por 10{,}5 obtemos
T^{(f)}=\frac{3\,T_{1}^{(i)}+7{,}5\,T_{2}^{(i)}}{10{,}5}.
Substituindo T_{1}^{(i)}=250 e T_{2}^{(i)}=350:
T^{(f)}=\frac{3\cdot 250 + 7{,}5\cdot 350}{10{,}5} =\frac{750+2\,625}{10{,}5} =\frac{3\,375}{10{,}5}.
Simplificando a fração:
T^{(f)}=\frac{3\,375}{10{,}5}=\frac{2\,250}{7}\\ \mathrm{K}\approx 321{,}428571\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Agora calculamos as energias internas finais usando T^{(f)} e as fórmulas do Passo 2.
Para U_{1}^{(f)}:
U_{1}^{(f)}=3R\,T^{(f)}=3\cdot 8{,}314\cdot\frac{2\,250}{7}.
Calculando numericamente (usando R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} e T^{(f)}\approx 321{,}428571\\ \mathrm{K}):
U_{1}^{(f)}=3\cdot 8{,}314\cdot 321{,}428571\approx 8\,017{,}1\\ \mathrm{J}.
Para U_{2}^{(f)}:
U_{2}^{(f)}=7{,}5R\,T^{(f)}=7{,}5\cdot 8{,}314\cdot\frac{2\,250}{7}.
Numericamente:
U_{2}^{(f)}=7{,}5\cdot 8{,}314\cdot 321{,}428571\approx 20\,042{,}7\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Verificação simples: a soma das energias finais deve dar o total inicial:
U_{1}^{(f)}+U_{2}^{(f)}\approx 8\,017{,}1+20\,042{,}7=28\,059{,}8\\ \mathrm{J},
que coincide (dentro do arredondamento) com U_{\text{tot}}^{(i)}=28\,059{,}75\\ \mathrm{J}. Portanto os cálculos estão consistentes.

Resposta

U_{1}^{(f)}\approx 8\,017{,}1\\ \mathrm{J}
U_{2}^{(f)}\approx 20\,042{,}7\\ \mathrm{J}

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