Dois subsistemas particulares, separados por uma parede diatérmica, obedecem às equações de estado
em que
é a constante dos gases e
representa o número de mols em cada sistema, com
e
. Inicialmente, o sistema 1 está a uma temperatura
e o sistema 2 está a uma temperatura
. Após o equilíbrio ser atingido, determine:
as energias internas
e
dos subsistemas;
as energias internas
Passo 1
O enunciado nos dá duas equações de estado para os subsistemas separados por parede diatérmica e pede as energias internas após o equilíbrio. Dados extraídos do enunciado:
- Equações de estado:
- Números de mols:
. - Temperaturas iniciais:
.
O que o enunciado pede: determinar as energias internas finaise dos subsistemas depois que o equilíbrio térmico é atingido.
Passo 2
Vamos manipular as equações dadas para obter uma expressão direta de
em função de
. Isso é só álgebra elementar: inverter a relação para isolar
.
Da primeira equação:
multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
obtemos
Analogamente, da segunda equação:
Aqui é bom entender o que essas fórmulas significam: para cada subsistema a energia interna é proporcional ao número de mols
, à temperatura
e a um coeficiente (aqui
ou
) que surge diretamente da equação de estado dada.
Passo 3
Vamos calcular as energias internas iniciais (antes da troca térmica) apenas para ter o total de energia inicial. Escolho o valor usual da constante dos gases:
Usando as fórmulas do passo anterior com as temperaturas iniciais:
Simplificando
, então
Substituindo
:
Agora
:
Aqui
, então
Se desejar calcular numérico neste ponto:
Total inicial:
Passo 4
Ao permitir troca de calor pela parede diatérmica e assumindo que o conjunto total é isolado (nenhuma energia entra ou sai do conjunto), a energia interna total é conservada. Logo:
Usando as expressões do Passo 2 para as energias finais em função da temperatura final comum
:
Portanto a conservação de energia dá
Passo 5
Fatorando
na equação anterior:
Note que o fator
aparece em todos os termos e pode ser simplificado, portanto
independe do valor numérico de
. Isolando
:
Mas é mais direto usar a forma com as temperaturas iniciais sem computar primeiro
. Substituindo
e
na conservação,
Dividindo ambos os lados por
e por
obtemos
Substituindo
e
:
Simplificando a fração:
Passo 6
Agora calculamos as energias internas finais usando
e as fórmulas do Passo 2.
Para
:
Calculando numericamente (usando
e
):
Para
:
Numericamente:
Passo 7
Verificação simples: a soma das energias finais deve dar o total inicial:
que coincide (dentro do arredondamento) com
. Portanto os cálculos estão consistentes.