Deduza as seguintes fórmulas integrais
\oint_{\alpha}\left(v \frac{\partial u}{\partial n}-u \frac{\partial v}{\partial n}\right) d \vec{r}=\iint(v \Delta u-u \Delta v) d x d y.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (assumindo as hipóteses usuais que não foram explicitadas):
  • Existe uma região plana \Omega com fronteira fechada e suave \alpha=\partial\Omega, orientada positivamente (sentido anti-horário).
  • u e v são funções suficientemente suaves em \overline{\Omega} (por exemplo u,v\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})).
  • Na notação do enunciado, \dfrac{\partial}{\partial n} é a derivada direcional na direção do vetor normal unitário n à curva \alpha (tomado o normal exterior), e d\vec r é o elemento de comprimento ao longo de \alpha (ou seja, a integral de linha sobre a fronteira).
    O problema pede para deduzir a identidade
\oint_{\alpha}\left(v\,\frac{\partial u}{\partial n}-u\,\frac{\partial v}{\partial n}\right)d\vec r = \iint_{\Omega}\big(v\,\Delta u-u\,\Delta v\big)\,dx\,dy.

Passo 2

Definições e ferramentas que vamos usar (explicadas devagar):
  • Gradiente. Para uma função w(x,y), o gradiente é o vetor
\nabla w=\left(\frac{\partial w}{\partial x},\frac{\partial w}{\partial y}\right).
Ele dá a direção de maior variação de w.
  • Derivada normal. A derivada de w na direção normal unitária n é
\frac{\partial w}{\partial n}=\nabla w\cdot n.
Isto é, projetamos o gradiente sobre o vetor normal.
  • Laplaciano. A soma das segundas derivadas parciais é o Laplaciano:
\Delta w=\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}.
  • Teorema da divergência (versão plana / fórmula de Green em forma divergente). Se F=(F_1,F_2) é um campo vetorial suficientemente suave em \Omega\cup\alpha, então
\iint_{\Omega}\operatorname{div}F\,dx\,dy=\oint_{\alpha}F\cdot n\,d s,
onde \operatorname{div}F=\dfrac{\partial F_1}{\partial x}+\dfrac{\partial F_2}{\partial y} e d s é o elemento de comprimento ao longo de \alpha. Note que F\cdot n é a componente normal de F na fronteira; isso conecta integrais de área com integrais de contorno.

Passo 3

Escolha do campo vetorial F. A identidade que queremos tem, no integrando de contorno, combinações tipo v\,\partial u/\partial n - u\,\partial v/\partial n. Uma escolha natural é definir
F=\big(v\,u_x-u\,v_x,\;v\,u_y-u\,v_y\big),
onde u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x} e u_y=\dfrac{\partial u}{\partial y} (mesma notação para v). Vou explicar por que essa escolha é boa: na fronteira F\cdot n será exatamente v\,\dfrac{\partial u}{\partial n}-u\,\dfrac{\partial v}{\partial n}, porque
F\cdot n=(v u_x-u v_x)n_1+(v u_y-u v_y)n_2 = v(\nabla u\cdot n)-u(\nabla v\cdot n) = v\frac{\partial u}{\partial n}-u\frac{\partial v}{\partial n}.
Portanto a integral de linha da expressão do enunciado é a integral de contorno \oint_{\alpha}F\cdot n\,ds.

Passo 4

Calcular a divergência de F passo a passo. Primeiro escrevo a divergência:
\operatorname{div}F=\frac{\partial}{\partial x}(v u_x-u v_x)+\frac{\partial}{\partial y}(v u_y-u v_y).
Agora aplico a regra do produto em cada termo (vou escrever tudo explicitamente para você poder copiar na prova):
\frac{\partial}{\partial x}(v u_x-u v_x) = v_x u_x + v u_{xx} - u_x v_x - u v_{xx},
\frac{\partial}{\partial y}(v u_y-u v_y) = v_y u_y + v u_{yy} - u_y v_y - u v_{yy}.
Somando as duas expressões:
\operatorname{div}F = \big(v_x u_x - u_x v_x\big) + \big(v_y u_y - u_y v_y\big) + v(u_{xx}+u_{yy}) - u(v_{xx}+v_{yy}).
Observe que os termos \big(v_x u_x - u_x v_x\big) e \big(v_y u_y - u_y v_y\big) se anulam (cada par é zero), porque v_x u_x - u_x v_x=0. Assim sobra apenas
\operatorname{div}F = v\,(u_{xx}+u_{yy}) - u\,(v_{xx}+v_{yy}).
E pelos nomes das quantidades,
\operatorname{div}F = v\,\Delta u - u\,\Delta v.

Passo 5

Aplicar o teorema da divergência à região \Omega. Pelas contas do passo anterior,
\iint_{\Omega}\operatorname{div}F\,dx\,dy=\iint_{\Omega}\big(v\,\Delta u-u\,\Delta v\big)\,dx\,dy.
Pelo teorema da divergência,
\iint_{\Omega}\operatorname{div}F\,dx\,dy=\oint_{\alpha}F\cdot n\,ds.
Mas no Passo 3 mostramos que F\cdot n=v\,\dfrac{\partial u}{\partial n}-u\,\dfrac{\partial v}{\partial n}. Portanto
\oint_{\alpha}\left(v\,\frac{\partial u}{\partial n}-u\,\frac{\partial v}{\partial n}\right)ds = \iint_{\Omega}\big(v\,\Delta u-u\,\Delta v\big)\,dx\,dy.

Passo 6

Observações finais e cuidado com a notação (para não errar na prova):
  • A equação acima é exatamente a identidade pedida. Em muitas fontes o elemento de contorno é escrito como d s (comprimento), e às vezes o enunciado usa d\vec r. O ponto essencial é que a integral de contorno é a integral da componente normal F\cdot n ao longo da fronteira.
  • Hipóteses de suavidade: para usar a divergência e trocar derivadas, é suficiente pedir u,v\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega}).
  • Orientação: a fórmula usa o normal exterior (consequência da convenção do teorema da divergência). Se a curva \alpha fosse orientada no sentido oposto, haveria um sinal trocado; por isso assinale sempre no enunciado qual normal/orientação está sendo usada.

Resposta

\oint_{\alpha}\left(v\,\frac{\partial u}{\partial n}-u\,\frac{\partial v}{\partial n}\right)d\vec r = \iint_{\Omega}\big(v\,\Delta u-u\,\Delta v\big)\,dx\,dy

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