Deduza as seguintes fórmulas integrais \oint_{\alpha}\left(v \frac{\partial u}{\partial n}-u \frac{\partial v}{\partial n}\right) d \vec{r}=\iint(v \Delta u-u \Delta v) d x d y.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (assumindo as hipóteses usuais que não foram explicitadas):
Existe uma região plana \Omega com fronteira fechada e suave \alpha=\partial\Omega, orientada positivamente (sentido anti-horário).
u e v são funções suficientemente suaves em \overline{\Omega} (por exemplo u,v\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})).
Na notação do enunciado, \dfrac{\partial}{\partial n} é a derivada direcional na direção do vetor normal unitário n à curva \alpha (tomado o normal exterior), e d\vec r é o elemento de comprimento ao longo de \alpha (ou seja, a integral de linha sobre a fronteira).
O problema pede para deduzir a identidade
\oint_{\alpha}\left(v\,\frac{\partial u}{\partial n}-u\,\frac{\partial v}{\partial n}\right)d\vec r = \iint_{\Omega}\big(v\,\Delta u-u\,\Delta v\big)\,dx\,dy.
Passo 2
Definições e ferramentas que vamos usar (explicadas devagar):
Gradiente. Para uma função w(x,y), o gradiente é o vetor
Teorema da divergência (versão plana / fórmula de Green em forma divergente). Se F=(F_1,F_2) é um campo vetorial suficientemente suave em \Omega\cup\alpha, então
onde \operatorname{div}F=\dfrac{\partial F_1}{\partial x}+\dfrac{\partial F_2}{\partial y} e d s é o elemento de comprimento ao longo de \alpha. Note que F\cdot n é a componente normal de F na fronteira; isso conecta integrais de área com integrais de contorno.
Passo 3
Escolha do campo vetorial F. A identidade que queremos tem, no integrando de contorno, combinações tipo v\,\partial u/\partial n - u\,\partial v/\partial n. Uma escolha natural é definir
F=\big(v\,u_x-u\,v_x,\;v\,u_y-u\,v_y\big),
onde u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x} e u_y=\dfrac{\partial u}{\partial y} (mesma notação para v). Vou explicar por que essa escolha é boa: na fronteira F\cdot n será exatamente v\,\dfrac{\partial u}{\partial n}-u\,\dfrac{\partial v}{\partial n}, porque
Observe que os termos \big(v_x u_x - u_x v_x\big) e \big(v_y u_y - u_y v_y\big) se anulam (cada par é zero), porque v_x u_x - u_x v_x=0. Assim sobra apenas
Observações finais e cuidado com a notação (para não errar na prova):
A equação acima é exatamente a identidade pedida. Em muitas fontes o elemento de contorno é escrito como d s (comprimento), e às vezes o enunciado usa d\vec r. O ponto essencial é que a integral de contorno é a integral da componente normal F\cdot n ao longo da fronteira.
Hipóteses de suavidade: para usar a divergência e trocar derivadas, é suficiente pedir u,v\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega}).
Orientação: a fórmula usa o normal exterior (consequência da convenção do teorema da divergência). Se a curva \alpha fosse orientada no sentido oposto, haveria um sinal trocado; por isso assinale sempre no enunciado qual normal/orientação está sendo usada.
Resposta
\oint_{\alpha}\left(v\,\frac{\partial u}{\partial n}-u\,\frac{\partial v}{\partial n}\right)d\vec r = \iint_{\Omega}\big(v\,\Delta u-u\,\Delta v\big)\,dx\,dy