Calcule
onde
é a parte da curva
orientada de (
) para
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a parte da curva
orientada de
para
.
Informações dadas e o que é pedido:
- A curva satisfaz
. - O ponto inicial é
e o final é ; a orientação é do primeiro para o segundo. - A função a integrar ao longo da curva é
. - O elemento de comprimento de arco é
. - O que se pede: avaliar a integral de linha em relação ao comprimento de arco sobre o ramo indicado da curva.
Passo 2
Escolher uma parametrização adequada (passo importante).
- Da relação
segue . No ponto temos e , portanto devemos tomar o ramo com sinal negativo: . - Podemos parametrizar usando
como a própria coordenada : . Como o caminho vai de até com orientação dada, escolhemos o parâmetro variando de até . - Assim a parametrização é
Observação: aqui
no intervalo usado, então
e
estão bem definidos.
Passo 3
Calcular a derivada da parametrização e o comprimento infinitesimal
.
- Derivando
obtemos
- O elemento de comprimento é
- Podemos escrever
, o que ficará útil para cancelar com o denominador da integranda.
Passo 4
Recordando a fórmula da integral de linha em relação ao comprimento de arco:
onde
parametriza
para
. Aqui
e usamos a parametrização do Passo 2 com
.
Passo 5
Substituir
,
e
na integral e simplificar.
- Substituições:
, , . - A integranda fica
- Note que
no numerador e no denominador se cancelam, restando
- Portanto a integral paramétrica é
Passo 6
Calcular a integral definida.
- Podemos trocar os limites para ficar do menor ao maior, mudando o sinal:
- Calcular a antiderivada: para
vale
- Substituindo nos limites obtemos