Calcule \int_{\alpha} \frac{x y}{\sqrt{9 y+4}} d S onde \alpha é a parte da curva y^{3}=x^{2} orientada de ( -1,1 ) para (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\alpha} \frac{x y}{\sqrt{9 y+4}}\,dS
onde \alpha é a parte da curva \,y^{3}=x^{2}\, orientada de (-1,1) para (0,0).
Informações dadas e o que é pedido:
  • A curva satisfaz \,y^{3}=x^{2}.
  • O ponto inicial é (-1,1) e o final é (0,0); a orientação é do primeiro para o segundo.
  • A função a integrar ao longo da curva é \displaystyle \frac{x y}{\sqrt{9 y+4}}.
  • O elemento de comprimento de arco é dS.
  • O que se pede: avaliar a integral de linha em relação ao comprimento de arco sobre o ramo indicado da curva.

Passo 2

Escolher uma parametrização adequada (passo importante).
  • Da relação \,y^{3}=x^{2} segue \,x=\pm y^{3/2}. No ponto (-1,1) temos y=1 e x=-1, portanto devemos tomar o ramo com sinal negativo: x=-y^{3/2}.
  • Podemos parametrizar usando t como a própria coordenada y: \,y(t)=t. Como o caminho vai de y=1 até y=0 com orientação dada, escolhemos o parâmetro variando de t=1 até t=0.
  • Assim a parametrização é
\mathbf{r}(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\bigl(-t^{3/2},\,t\bigr),\qquad t\in[1,0].
Observação: aqui t\ge0 no intervalo usado, então t^{1/2} e t^{3/2} estão bem definidos.

Passo 3

Calcular a derivada da parametrização e o comprimento infinitesimal dS.
  • Derivando \mathbf{r}(t) obtemos
\mathbf{r}'(t)=\left(-\frac{3}{2}t^{1/2},\;1\right).
  • O elemento de comprimento é
dS=|\mathbf{r}'(t)|\,dt=\sqrt{\left(-\frac{3}{2}t^{1/2}\right)^{2}+1^{2}}\,dt =\sqrt{\frac{9}{4}t+1}\,dt.
  • Podemos escrever \sqrt{\frac{9}{4}t+1}=\frac{1}{2}\sqrt{9t+4}, o que ficará útil para cancelar com o denominador da integranda.

Passo 4

Recordando a fórmula da integral de linha em relação ao comprimento de arco:
\int_{\alpha} f(x,y)\,dS=\int_{t=a}^{b} f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt,
onde \mathbf{r}(t) parametriza \alpha para t\in[a,b]. Aqui f(x,y)=\dfrac{x y}{\sqrt{9 y+4}} e usamos a parametrização do Passo 2 com t\in[1,0].

Passo 5

Substituir x(t), y(t) e |\mathbf{r}'(t)| na integral e simplificar.
  • Substituições: x(t)=-t^{3/2}, y(t)=t, |\mathbf{r}'(t)|=\dfrac{1}{2}\sqrt{9t+4}.
  • A integranda fica
\frac{x(t)\,y(t)}{\sqrt{9\,y(t)+4}}\,|\mathbf{r}'(t)| =\frac{(-t^{3/2})\cdot t}{\sqrt{9t+4}}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{9t+4}.
  • Note que \sqrt{9t+4} no numerador e no denominador se cancelam, restando
\frac{(-t^{3/2})\cdot t}{1}\cdot\frac{1}{2}= -\frac{1}{2}t^{5/2}.
  • Portanto a integral paramétrica é
\int_{\alpha}\frac{x y}{\sqrt{9 y+4}}\,dS=\int_{t=1}^{0}\left(-\frac{1}{2}t^{5/2}\right)\,dt.

Passo 6

Calcular a integral definida.
  • Podemos trocar os limites para ficar do menor ao maior, mudando o sinal:
\int_{1}^{0}\left(-\frac{1}{2}t^{5/2}\right)\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{1} t^{5/2}\,dt.
  • Calcular a antiderivada: para t^{5/2} vale
\int t^{5/2}\,dt=\frac{t^{7/2}}{7/2}=\frac{2}{7}t^{7/2}.
  • Substituindo nos limites obtemos
\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{7}\Bigl[t^{7/2}\Bigr]_{0}^{1} =\left.\frac{1}{7}t^{7/2}\right|_{0}^{1}.

Resposta

\dfrac{1}{7}

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