A expressão
é dita uma diferencial exata numa região
, se existe uma função
tal que
e
em
. Mostre que
Verifique que a expressão dada, é uma diferencial exata em qualquer região
em que
(a)
;
(b)
.
Verifique que a expressão dada, é uma diferencial exata em qualquer região
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para verificar que as seguintes 1-formas são diferenciais exatas em qualquer região
que não contenha a origem
:
(a)
.
(b)
.
Informações dadas relevantes:
- Em cada caso a 1-forma tem componentes
e com denominador ou . Logo as funções são bem definidas e em qualquer região que não contenha . - A tarefa é mostrar que existe uma função potencial
tal que e em .
Passo 2
Método que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
- Se uma 1-forma é exata então existe
com e . - Uma forma prática para encontrar
é integrar em relação a (tratando como constante): onde é uma “constante” de integração que pode depender de . Em seguida diferenciamos essa expressão em relação a e igualamos a para determinar e, portanto, . - Alternativamente, se
e são num domínio simplesmente conectado, verificar garante exatidão. Aqui preferimos construir explicitamente (método direto), o que dá uma prova construtiva válida em qualquer região que não contenha a origem porque as expressões usadas são definidas em .
Agora aplicamos esse método a cada caso.
Passo 3
Resolução do item (a).
-
Identificação:Ambas são
em qualquer com . -
Integração de
em relação a (com fixo). Faça a substituição . Então , logo . Assim Voltando a, ondeé a “constante” de integração dependente de . -
Determinar
comparando com . Calcule Esse deve ser igual a. Portanto -
Conclusão do item (a): uma função potencial édefinida em qualquer região
que não contenha . Assim a 1-forma é exata em tais .
Passo 4
Resolução do item (b).
-
Identificação:Novamente
e são em qualquer com . -
Integração de
em relação a (com fixo). Use a substituição novamente. Então , logo . Assim Voltando a, -
Determinar
comparando com . Calcule a derivada parcial em :
Primeiro derive a parteusando regra do quociente ou produto. Faço passo a passo usando produto: Diferenciando em: Simplificando:LogoEsse deve ser igual a, portanto , ou seja . -
Conclusão do item (b): uma função potencial édefinida em qualquer região
que não contenha . Assim a 1-forma do item (b) é exata em tais .
Passo 5
Breve verificação alternativa (checagem das derivadas mistas) — explicação curta:
- Para (a): calcule
e ; ambas dão no desenvolvimento adequado, de modo que as derivadas mistas coincidem (mais direto: a existência explícita de já prova exatidão). - Para (b): também
após cálculo direto (os termos se igualam), o que é consistente com a existência do potencial que encontramos. - Observação final importante: a exclusão de
é necessária porque os potenciais encontrados usam ou frações com no denominador; esses objetos não são definidos nem regulares na origem.
Resposta
(a)
(b)