A expressão P(x, y) d x+Q(x, y) d y é dita uma diferencial exata numa região \mathbb{D} \subset \mathbb{R}^{2}, se existe uma função \varphi: \mathbb{D} \subset \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R} tal que \frac{\partial \varphi}{\partial x}=P e \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q em \mathbb{D}. Mostre que
Verifique que a expressão dada, é uma diferencial exata em qualquer região \mathbb{D} \subset \mathbb{R}^{2} em que (0,0) \notin \mathbb{D}
(a) \frac{x d x}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y d y}{x^{2}+y^{2}};
(b) \frac{2 x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d x+\frac{y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d y.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as seguintes 1-formas são diferenciais exatas em qualquer região \mathbb{D}\subset\mathbb{R}^2 que não contenha a origem (0,0):
(a) \displaystyle \frac{x\,dx}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y\,dy}{x^{2}+y^{2}}.
(b) \displaystyle \frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\,dx+\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\,dy.
Informações dadas relevantes:
  • Em cada caso a 1-forma tem componentes P(x,y) e Q(x,y) com denominador x^{2}+y^{2} ou (x^{2}+y^{2})^{2}. Logo as funções são bem definidas e C^1 em qualquer região que não contenha (0,0).
  • A tarefa é mostrar que existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \partial\varphi/\partial x = P e \partial\varphi/\partial y = Q em \mathbb{D}.

Passo 2

Método que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
  • Se uma 1-forma é exata então existe \varphi(x,y) com \partial\varphi/\partial x = P e \partial\varphi/\partial y = Q.
  • Uma forma prática para encontrar \varphi é integrar P em relação a x (tratando y como constante): \varphi(x,y)=\int P(x,y)\,dx + h(y),onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y. Em seguida diferenciamos essa expressão em relação a y e igualamos a Q(x,y) para determinar h'(y) e, portanto, h(y).
  • Alternativamente, se P e Q são C^1 num domínio simplesmente conectado, verificar \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x garante exatidão. Aqui preferimos construir explicitamente \varphi (método direto), o que dá uma prova construtiva válida em qualquer região que não contenha a origem porque as expressões usadas são definidas em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.
Agora aplicamos esse método a cada caso.

Passo 3

Resolução do item (a).
  • Identificação:
    P(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}},\qquad Q(x,y)=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
    Ambas são C^1 em qualquer \mathbb{D} com (0,0)\notin\mathbb{D}.
  • Integração de P em relação a x (com y fixo). Faça a substituição u=x^{2}+y^{2}. Então du=2x\,dx, logo x\,dx=\tfrac{1}{2}du. Assim
    \int \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dx = \int \frac{1}{2}\frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + \widetilde{h}(y).
    Voltando a x,y,
    \varphi(x,y)=\frac{1}{2}\ln\big(x^{2}+y^{2}\big) + h(y),
    onde h(y) é a “constante” de integração dependente de y.
  • Determinar h(y) comparando com Q. Calcule
    \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{2}\ln(x^{2}+y^{2}) + h(y)\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2y}{x^{2}+y^{2}} + h'(y) = \frac{y}{x^{2}+y^{2}} + h'(y).
    Esse deve ser igual a Q(x,y)=\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}. Portanto
    h'(y)=0 \quad\Rightarrow\quad h(y)=C\\ (\text{constante}).
  • Conclusão do item (a): uma função potencial é
    \varphi(x,y)=\frac{1}{2}\ln\big(x^{2}+y^{2}\big) + C,
    definida em qualquer região \mathbb{D} que não contenha (0,0). Assim a 1-forma é exata em tais \mathbb{D}.

Passo 4

Resolução do item (b).
  • Identificação:
    P(x,y)=\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}},\qquad Q(x,y)=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
    Novamente P e Q são C^1 em qualquer \mathbb{D} com (0,0)\notin\mathbb{D}.
  • Integração de P em relação a x (com y fixo). Use a substituição u=x^{2}+y^{2} novamente. Então du=2x\,dx, logo 2x\,dx = du. Assim
    \int \frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\,dx = \int y\cdot \frac{1}{u^{2}}\,du = y\cdot\left(-\frac{1}{u}\right) + \widetilde{h}(y).
    Voltando a x,y,
    \varphi(x,y) = -\frac{y}{x^{2}+y^{2}} + h(y).
  • Determinar h(y) comparando com Q. Calcule a derivada parcial em y:
    Primeiro derive a parte -\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}} usando regra do quociente ou produto. Faço passo a passo usando produto:
    -\frac{y}{x^{2}+y^{2}} = -y\cdot (x^{2}+y^{2})^{-1}.
    Diferenciando em y:
    \frac{\partial}{\partial y}\!\left(-y(x^{2}+y^{2})^{-1}\right) = -(x^{2}+y^{2})^{-1} - y\cdot\big(-1\big)(2y)(x^{2}+y^{2})^{-2}.
    Simplificando:
    = -\frac{1}{x^{2}+y^{2}} + \frac{2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{-\big(x^{2}+y^{2}\big)+2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
    Logo
    \frac{\partial}{\partial y}\!\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}} + h(y)\right) = \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} + h'(y).
    Esse deve ser igual a Q(x,y)=\dfrac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, portanto h'(y)=0, ou seja h(y)=C.
  • Conclusão do item (b): uma função potencial é
    \varphi(x,y) = -\frac{y}{x^{2}+y^{2}} + C,
    definida em qualquer região \mathbb{D} que não contenha (0,0). Assim a 1-forma do item (b) é exata em tais \mathbb{D}.

Passo 5

Breve verificação alternativa (checagem das derivadas mistas) — explicação curta:
  • Para (a): calcule \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x; ambas dão \dfrac{xy - xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=0 no desenvolvimento adequado, de modo que as derivadas mistas coincidem (mais direto: a existência explícita de \varphi já prova exatidão).
  • Para (b): também \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x após cálculo direto (os termos se igualam), o que é consistente com a existência do potencial que encontramos.
  • Observação final importante: a exclusão de (0,0) é necessária porque os potenciais encontrados usam \ln(x^{2}+y^{2}) ou frações com x^{2}+y^{2} no denominador; esses objetos não são definidos nem regulares na origem.

Resposta

(a) \displaystyle \varphi(x,y)=\frac{1}{2}\ln\big(x^{2}+y^{2}\big)+C
(b) \displaystyle \varphi(x,y)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}+C

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