Deduza o termo geral e escreva usando a notação de série:
.
Passo 1
O enunciado dá a soma de termos
e pede duas coisas: deduzir o termo geral e escrever a soma na notação de série. Informações relevantes: os denominadores são produtos de dois inteiros consecutivos que aumentam de 1 em 1, começando em
; todos os numeradores são
.
Passo 2
Vamos identificar um índice
que descreva cada termo da sequência. Uma escolha natural é tomar o primeiro termo correspondente a
. Assim o primeiro denominador
deve ser uma expressão em
que, para
, dê
.
Observe que, se usamos a expressão no denominador, para
obtemos
, para
obtemos
, e assim por diante. Portanto uma fórmula que gera os denominadores corretos é
com
.
Observe que, se usamos a expressão
Passo 3
Com isso, o termo geral (o
-ésimo termo) fica
Cheque rápido: para
temos
, para
temos
, casando com os termos dados.
Passo 4
Uma observação útil (útil em provas) é reescrever o termo em frações parciais, porque isso mostra a forma telescópica. Procuramos
e
tais que
Multiplicando por
obtemos
. Igualando coeficientes (ou testando valores de
) resulta em
e
. Logo
o que confirma que a sequência tem formato telescópico (isso é didático para somas, embora aqui só nos peçam a notação da série).
Passo 5
Agora escrevemos a soma usando notação de série com o índice
escolhido:
Como alternativa equivalente (índice deslocado), podemos usar
e escrever a mesma série como
Resposta
Termo geral:
Série: (equivalente a
).
Série: