Deduza o termo geral e escreva usando a notação de série:
\frac{5}{2 \cdot 3}+\frac{5}{3 \cdot 4}+\frac{5}{4 \cdot 5}+\frac{5}{5 \cdot 6}+\ldots.

Passo 1

O enunciado dá a soma de termos
\frac{5}{2\cdot 3}+\frac{5}{3\cdot 4}+\frac{5}{4\cdot 5}+\frac{5}{5\cdot 6}+\ldots e pede duas coisas: deduzir o termo geral e escrever a soma na notação de série. Informações relevantes: os denominadores são produtos de dois inteiros consecutivos que aumentam de 1 em 1, começando em 2\cdot 3; todos os numeradores são 5.

Passo 2

Vamos identificar um índice n que descreva cada termo da sequência. Uma escolha natural é tomar o primeiro termo correspondente a n=1. Assim o primeiro denominador 2\cdot 3 deve ser uma expressão em n que, para n=1, dê 2\cdot 3.
Observe que, se usamos a expressão (n+1)(n+2) no denominador, para n=1 obtemos (1+1)(1+2)=2\cdot 3, para n=2 obtemos (2+1)(2+2)=3\cdot 4, e assim por diante. Portanto uma fórmula que gera os denominadores corretos é (n+1)(n+2) com n\ge 1.

Passo 3

Com isso, o termo geral (o n-ésimo termo) fica
a_n=\frac{5}{(n+1)(n+2)},\qquad n\ge 1.
Cheque rápido: para n=1 temos a_1=\dfrac{5}{2\cdot3}, para n=2 temos a_2=\dfrac{5}{3\cdot4}, casando com os termos dados.

Passo 4

Uma observação útil (útil em provas) é reescrever o termo em frações parciais, porque isso mostra a forma telescópica. Procuramos A e B tais que
\frac{5}{(n+1)(n+2)}=\frac{A}{n+1}+\frac{B}{n+2}.
Multiplicando por (n+1)(n+2) obtemos 5=A(n+2)+B(n+1). Igualando coeficientes (ou testando valores de n) resulta em A=5 e B=-5. Logo
\frac{5}{(n+1)(n+2)}=5\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right),
o que confirma que a sequência tem formato telescópico (isso é didático para somas, embora aqui só nos peçam a notação da série).

Passo 5

Agora escrevemos a soma usando notação de série com o índice n escolhido:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{(n+1)(n+2)}.
Como alternativa equivalente (índice deslocado), podemos usar k=n+1 e escrever a mesma série como
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{5}{k(k+1)}.

Resposta

Termo geral: \displaystyle a_n=\frac{5}{(n+1)(n+2)},\; n\ge 1.
Série: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{(n+1)(n+2)} (equivalente a \displaystyle \sum_{k=2}^{\infty}\frac{5}{k(k+1)}).

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