Ainda não respondida Vale 5,00 ponto(s).
Qual dos pontos abaixo é ponto crítico da função
Resposta
a.
b.
C.
d.
e.
Limpar minha escolha
Resposta
a.
b.
C.
d.
e.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: qual dos pontos listados é um ponto crítico de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - Um ponto crítico é um ponto onde o gradiente de
é nulo (isto é, todas as derivadas parciais iguais a zero). - As alternativas são pontos candidatos; precisamos verificar quais satisfazem a condição de ponto crítico.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
— primeira lição prática sobre derivadas parciais: ao derivar em relação a
tratamos
como constante; ao derivar em relação a
tratamos
como constante. Derivando termo a termo:
Derivada parcial em relação a
:
Portanto
Derivada parcial em relação a
:
Portanto
Passo 3
Condição de ponto crítico: ambas as derivadas parciais iguais a zero. Montamos o sistema
Agora vamos resolver esse sistema passo a passo.]
Passo 4
Da segunda equação temos
Isto é simples: a segunda equação impõe que
e
sejam iguais no ponto crítico. Substituímos
na primeira equação.
Passo 5
Substituindo
em
obtemos
Agora usamos a fórmula quadrática (aquela que resolve
com
). Aqui
,
,
. Calculamos o discriminante:
Então as raízes são
Como
, os pontos críticos são
Passo 6
Agora comparo com as alternativas fornecidas. A alternativa (e) é exatamente
que é um dos pontos críticos que encontramos. Portanto a alternativa correta é a (e). Força aí — você conseguiu chegar na condição do gradiente e resolver a quadrática!
Resposta
e.