Ainda não respondida Vale 5,00 ponto(s).
Qual dos pontos abaixo é ponto crítico da função f(x, y)=x \wedge 3-2 y^{\wedge} 2+4 x y-x f(x, y)=x^{3}-2 y^{2}+4 x y-x ?
Resposta
a. \left(\frac{-2+\sqrt{7}}{2}, \frac{-2+\sqrt{7}}{2}\right) \bigcirc
b. \left(\frac{-1+\sqrt{7}}{3}, \frac{-1+\sqrt{7}}{3}\right) \bigcirc
C. \left(\frac{-2+\sqrt{7}}{3}, \frac{-2-\sqrt{7}}{3}\right) \bigcirc
d. \left(\frac{-2+\sqrt{5}}{3}, \frac{-2+\sqrt{5}}{3}\right) \bigcirc
e. \left(\frac{-2+\sqrt{7}}{3}, \frac{-2+\sqrt{7}}{3}\right) \bigcirc
Limpar minha escolha

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x,y)=x^{3}-2y^{2}+4xy-x\; e pede: qual dos pontos listados é um ponto crítico de f.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é \;f(x,y)=x^{3}-2y^{2}+4xy-x\;.
  • Um ponto crítico é um ponto onde o gradiente de f é nulo (isto é, todas as derivadas parciais iguais a zero).
  • As alternativas são pontos candidatos; precisamos verificar quais satisfazem a condição de ponto crítico.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f — primeira lição prática sobre derivadas parciais: ao derivar em relação a x tratamos y como constante; ao derivar em relação a y tratamos x como constante. Derivando termo a termo:
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}= \text{derivada de }x^{3}\text{ é }3x^{2},\quad \text{de }-2y^{2}\text{ é }0,\quad \text{de }4xy\text{ é }4y,\quad \text{de }-x\text{ é }-1.éééé
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+4y-1.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}= \text{derivada de }-2y^{2}\text{ é }-4y,\quad \text{de }4xy\text{ é }4x,\quad \text{os outros termos não dependem de }y.ééã
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=-4y+4x.

Passo 3

Condição de ponto crítico: ambas as derivadas parciais iguais a zero. Montamos o sistema
\begin{cases} 3x^{2}+4y-1=0,\\[4pt] -4y+4x=0. \end{cases}
Agora vamos resolver esse sistema passo a passo.]

Passo 4

Da segunda equação temos
-4y+4x=0\quad\Rightarrow\quad 4x=4y\quad\Rightarrow\quad y=x.
Isto é simples: a segunda equação impõe que y e x sejam iguais no ponto crítico. Substituímos y=x na primeira equação.

Passo 5

Substituindo y=x em 3x^{2}+4y-1=0 obtemos
3x^{2}+4x-1=0.
Agora usamos a fórmula quadrática (aquela que resolve ax^{2}+bx+c=0 com x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}). Aqui a=3, b=4, c=-1. Calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=4^{2}-4\cdot 3\cdot(-1)=16+12=28.
Então as raízes são
x=\frac{-4\pm\sqrt{28}}{2\cdot 3}=\frac{-4\pm 2\sqrt{7}}{6}=\frac{-2\pm\sqrt{7}}{3}.
Como y=x, os pontos críticos são
\left(\frac{-2+\sqrt{7}}{3},\;\frac{-2+\sqrt{7}}{3}\right) \quad\text{e}\quad \left(\frac{-2-\sqrt{7}}{3},\;\frac{-2-\sqrt{7}}{3}\right).

Passo 6

Agora comparo com as alternativas fornecidas. A alternativa (e) é exatamente
\left(\frac{-2+\sqrt{7}}{3},\;\frac{-2+\sqrt{7}}{3}\right),
que é um dos pontos críticos que encontramos. Portanto a alternativa correta é a (e). Força aí — você conseguiu chegar na condição do gradiente e resolver a quadrática!

Resposta

e. \left(\frac{-2+\sqrt{7}}{3}, \frac{-2+\sqrt{7}}{3}\right)

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