Qual dos pontos abaixo é um ponto de mínimo da função 2 x^{2}+y^{2}+3 x-y+4 Resposta
a. \left(-\frac{3}{2}, 1\right) \bigcirc
b. \left(\frac{3}{4},-\frac{1}{2}\right) \bigcirc
c. \left(0, \frac{3}{4}\right) \bigcirc
d. \left(-\frac{3}{4}, \frac{1}{2}\right) \bigcirc
e. \left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right) \bigcirc

Passo 1

O enunciado pede: entre as opções dadas, qual ponto é um ponto de mínimo da função
f(x,y)=2x^{2}+y^{2}+3x-y+4.
As alternativas (dados do enunciado) são:
\text{a. }\left(-\tfrac{3}{2},1\right),\quad \text{b. }\left(\tfrac{3}{4},-\tfrac{1}{2}\right),\quad \text{c. }\left(0,\tfrac{3}{4}\right),\quad \text{d. }\left(-\tfrac{3}{4},\tfrac{1}{2}\right),\quad \text{e. }\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4}\right).
O que precisamos encontrar: o ponto (x,y) onde f atinge um mínimo e verificar qual alternativa corresponde a esse ponto.

Passo 2

Vamos achar pontos críticos usando derivadas parciais — essa é a maneira padrão para encontrar máximos/minimos de funções de duas variáveis. Primeiro definimos as derivadas parciais: a derivada parcial de f em relação a x mede como f muda quando só x varia (mantendo y fixo); a derivada parcial em relação a y mede como f muda quando só y varia (mantendo x fixo).
Calculamos:
\frac{\partial f}{\partial x}= \text{derivando \(2x^{2}\) dá \(4x\); derivando \(3x\) dá \(3\); os demais termos não dependem de \(x\).}ááã
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=4x+3.
E
\frac{\partial f}{\partial y}= \text{derivando \(y^{2}\) dá \(2y\); derivando \(-y\) dá \(-1\).}áá
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=2y-1.

Passo 3

Pontos críticos satisfazem o sistema \frac{\partial f}{\partial x}=0 e \frac{\partial f}{\partial y}=0. Resolvendo:
4x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{3}{4},
2y-1=0 \quad\Rightarrow\quad y=\tfrac{1}{2}.
Logo há um único ponto crítico \left(-\tfrac{3}{4},\tfrac{1}{2}\right).

Passo 4

Agora precisamos confirmar que esse ponto é de mínimo (e não de máximo ou sela). Para isso usamos a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas). A Hessiana é
H=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} \\[4pt] \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
Calculando as segundas derivadas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=4,\quad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=0,\quad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=2.
Portanto
H=\begin{pmatrix}4 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
Uma matriz Hessiana diagonal com entradas positivas tem todos os autovalores positivos, ou alternativamente os menores principais determinantes são positivos ( 4>0 e \det H=4\cdot2=8>0). Isso significa que H é positiva definida e o ponto crítico é um ponto de mínimo estrito.]

Passo 5

Podemos também fazer um argumento puramente algébrico (completando o quadrado) para ver explicitamente onde o mínimo ocorre e qual é o valor mínimo — isso é útil na prova sem cálculo: reescrevemos f agrupando termos em x e y.
f(x,y)=2\bigl(x^{2}+\tfrac{3}{2}x\bigr)+\bigl(y^{2}-y\bigr)+4.
Agora completamos quadrado em cada variável:
x^{2}+\tfrac{3}{2}x=\bigl(x+\tfrac{3}{4}\bigr)^{2}-\tfrac{9}{16},
y^{2}-y=\bigl(y-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{4}.
Substituindo em f:
f(x,y)=2\Bigl(\bigl(x+\tfrac{3}{4}\bigr)^{2}-\tfrac{9}{16}\Bigr)+\Bigl(\bigl(y-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{4}\Bigr)+4.
Simplificando as constantes:
f(x,y)=2\bigl(x+\tfrac{3}{4}\bigr)^{2}+\bigl(y-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}+\Bigl(4-\tfrac{9}{8}-\tfrac{1}{4}\Bigr).
Calculando 4-\tfrac{9}{8}-\tfrac{1}{4}= \tfrac{32}{8}-\tfrac{9}{8}-\tfrac{2}{8}=\tfrac{21}{8}. Assim
f(x,y)=2\bigl(x+\tfrac{3}{4}\bigr)^{2}+\bigl(y-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}+\tfrac{21}{8}.
Dessa forma fica claro que f é soma de quadrados positivos mais a constante \tfrac{21}{8}, então o mínimo ocorre quando os quadrados são zero, ou seja em x=-\tfrac{3}{4} e y=\tfrac{1}{2}, e o valor mínimo é \tfrac{21}{8}. Isso confirma o resultado do passo anterior.

Passo 6

Concluímos que o ponto de mínimo é \left(-\tfrac{3}{4},\tfrac{1}{2}\right). Entre as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa d. Boa! Você agora tem dois métodos (derivadas parciais + Hessiana e completar quadrado) para usar em prova dependendo do que for pedido.

Resposta

d. \left(-\tfrac{3}{4},\tfrac{1}{2}\right)

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