Qual dos pontos abaixo é um ponto de mínimo da função 2 x^{2}+y^{2}+3 x-y+4 Resposta
a. \left(-\frac{3}{2}, 1\right)\bigcirc
b. \left(\frac{3}{4},-\frac{1}{2}\right)\bigcirc
c. \left(0, \frac{3}{4}\right)\bigcirc
d. \left(-\frac{3}{4}, \frac{1}{2}\right)\bigcirc
e. \left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)\bigcirc
Passo 1
O enunciado pede: entre as opções dadas, qual ponto é um ponto de mínimo da função
O que precisamos encontrar: o ponto (x,y) onde f atinge um mínimo e verificar qual alternativa corresponde a esse ponto.
Passo 2
Vamos achar pontos críticos usando derivadas parciais — essa é a maneira padrão para encontrar máximos/minimos de funções de duas variáveis. Primeiro definimos as derivadas parciais: a derivada parcial de f em relação a x mede como f muda quando só x varia (mantendo y fixo); a derivada parcial em relação a y mede como f muda quando só y varia (mantendo x fixo).
Calculamos:
\frac{\partial f}{\partial x}= \text{derivando \(2x^{2}\) dá \(4x\); derivando \(3x\) dá \(3\); os demais termos não dependem de \(x\).}
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=4x+3.
E
\frac{\partial f}{\partial y}= \text{derivando \(y^{2}\) dá \(2y\); derivando \(-y\) dá \(-1\).}
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=2y-1.
Passo 3
Pontos críticos satisfazem o sistema \frac{\partial f}{\partial x}=0 e \frac{\partial f}{\partial y}=0. Resolvendo:
4x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{3}{4},
2y-1=0 \quad\Rightarrow\quad y=\tfrac{1}{2}.
Logo há um único ponto crítico \left(-\tfrac{3}{4},\tfrac{1}{2}\right).
Passo 4
Agora precisamos confirmar que esse ponto é de mínimo (e não de máximo ou sela). Para isso usamos a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas). A Hessiana é
Uma matriz Hessiana diagonal com entradas positivas tem todos os autovalores positivos, ou alternativamente os menores principais determinantes são positivos (4>0 e \det H=4\cdot2=8>0). Isso significa que H é positiva definida e o ponto crítico é um ponto de mínimo estrito.]
Passo 5
Podemos também fazer um argumento puramente algébrico (completando o quadrado) para ver explicitamente onde o mínimo ocorre e qual é o valor mínimo — isso é útil na prova sem cálculo: reescrevemos f agrupando termos em x e y.
Dessa forma fica claro que f é soma de quadrados positivos mais a constante \tfrac{21}{8}, então o mínimo ocorre quando os quadrados são zero, ou seja em x=-\tfrac{3}{4} e y=\tfrac{1}{2}, e o valor mínimo é \tfrac{21}{8}. Isso confirma o resultado do passo anterior.
Passo 6
Concluímos que o ponto de mínimo é \left(-\tfrac{3}{4},\tfrac{1}{2}\right). Entre as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa d. Boa! Você agora tem dois métodos (derivadas parciais + Hessiana e completar quadrado) para usar em prova dependendo do que for pedido.