Deduzir a a equação tridimensional para transferência de momentum em notação vetorial. Apresentar a equação do movimento completa em Coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas,

Passo 1

O que o exercício pede e quais informações temos\n
  • Pede: deduzir a equação tridimensional para transferência de momentum em notação vetorial e apresentar a equação do movimento completa (componentes) em coordenadas retangulares (cartesianas), cilíndricas e esféricas.\n
  • Informações que assumimos (padrão para essa dedução): campo de velocidade tridimensional \mathbf{v}(\mathbf{x},t), densidade \rho(\mathbf{x},t), pressão p(\mathbf{x},t), forças de corpo por unidade de massa \mathbf{f} (por ex. gravidade), e um fluido newtoniano com tensões viscosas relacionadas às taxas de deformação. Não preciso de mais dados do enunciado; vou fazer a dedução geral e depois as formas componentes para as coordenadas pedidas.\n
  • Resultado que vamos entregar: (i) equação vetorial geral do movimento (Cauchy + constitutiva newtoniana); (ii) forma para fluido newtoniano de viscosidade constante (versão compressível geral e versão incompressível simplificada); (iii) componentes explícitos em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas para o caso newtoniano com viscosidade constante (apontando a continuidade quando necessária).\n

Passo 2

Breve aula: conceitos essenciais antes de derivar (material derivative, equação de conservação de momento e tensor das tensões)\n
  • Material derivative (derivada substancial): mede a taxa de variação observada por uma partícula fluida que se move com o fluido. Para um campo vetorial \mathbf{v}(\mathbf{x},t),
\frac{D\mathbf{v}}{Dt} = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}.
Expliquei: \partial_t é a variação local no tempo num ponto fixo no espaço; (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} é a variação advectiva (a partícula encontra propriedades diferentes ao se mover).\n
  • Equação de conservação do momento (Cauchy): Newton aplicado a um fluido elementar diz que taxa de variação do momento por unidade volume = somatório das forças por unidade volume (forças de superfície + força de corpo). Em notação vetorial:
\rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt} = \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} + \rho \mathbf{f},
onde \boldsymbol{\sigma} é o tensor das tensões (forças de superfície por unidade área), e \rho\mathbf{f} representa forças de corpo (ex.: \rho \mathbf{g}).\n
  • Tensor das tensões para fluidos: decompondo as tensões em pressão e tensões viscosas:
\boldsymbol{\sigma} = -p\,\mathbf{I} + \boldsymbol{\tau},
onde \mathbf{I} é a identidade e \boldsymbol{\tau} é o tensor viscoso (deformacional). Aqui p é a pressão termodinâmica (actua isotropicamente, compressiva).\n

Passo 3

Constitutiva newtoniana (a “lei” que relaciona \boldsymbol{\tau} às taxas de deformação) — aula e fórmula\n
  • Para um fluido newtoniano isotrópico (caso clássico), \boldsymbol{\tau} é linear nas taxas de deformação. Definimos o tensor de taxa de deformação simétrico:
\mathbf{S} = \frac{1}{2}\left(\nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^{T}\right),
onde em índices S_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial_i v_j + \partial_j v_i).\n
  • A lei constitutiva geral (modelo de Stokes) para um fluido newtoniano compressível é
\boldsymbol{\tau} = 2\mu \mathbf{S} + \lambda (\nabla\cdot\mathbf{v})\,\mathbf{I},
onde \mu é a viscosidade dinâmica (viscosidade “shear”) e \lambda é a segunda viscosidade (às vezes ligado à viscosidade volumétrica). Observação: para incompressível \nabla\cdot\mathbf{v}=0 e o termo com \lambda desaparece.\n
  • Em índices, \tau_{ij} = \mu(\partial_i v_j + \partial_j v_i) + \lambda (\nabla\cdot\mathbf{v})\delta_{ij}.\n

Passo 4

Inserindo a constitutiva na equação de Cauchy e obtendo forma vetorial geral (compressível)\n
  • Começamos com
\rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt} = \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} + \rho\mathbf{f} = \nabla\cdot(-p\mathbf{I} + \boldsymbol{\tau}) + \rho\mathbf{f}.
  • Desenvolvendo \nabla\cdot(-p\mathbf{I}) = -\nabla p. Então
\rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt} = -\nabla p + \nabla\cdot\boldsymbol{\tau} + \rho \mathbf{f}.
  • Substituindo \boldsymbol{\tau} da lei de Newtoniano:
\nabla\cdot\boldsymbol{\tau} = \nabla\cdot\big(2\mu\mathbf{S} + \lambda (\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I}\big).
  • Para viscosidades constantes (assumiremos \mu e \lambda uniformes no espaço), podemos manipular termas usando identidades vetoriais e do operador nabla. Uma identidade útil (validação) leva a:
\nabla\cdot(2\mu\mathbf{S}) = \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mu \nabla(\nabla\cdot\mathbf{v}),
mas é mais correto escrever a forma completa combinando com o termo \lambda. O resultado clássico (após a álgebra com índices) é
\nabla\cdot\boldsymbol{\tau} = \mu \nabla^2 \mathbf{v} + (\mu + \lambda)\nabla(\nabla\cdot\mathbf{v}).
  • Assim a equação de movimento geral para um fluido newtoniano com viscosidade constante fica:
\boxed{\rho\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2\mathbf{v} + (\mu+\lambda)\nabla(\nabla\cdot\mathbf{v}) + \rho\mathbf{f}.}
Aqui cada termo significa: massa vezes aceleração (esquerda); gradiente de pressão (força de superfície isotrópica), termos viscosos (laplaciano e correção compressível) e forças de corpo.\n

Passo 5

Caso incompressível (explicação e simplificação) — versão mais usada em provas\n
  • Para fluido incompressível temos a equação de continuidade simplificada:
\boxed{\nabla\cdot\mathbf{v}=0.}
  • Substituindo isso na equação do passo anterior, o termo \nabla(\nabla\cdot\mathbf{v}) desaparece. Além disso para incompressível a escolha usual é tomar \lambda tal que a combinação também suma; de qualquer forma desaparece porque \nabla\cdot\mathbf{v}=0.\n
  • Resultado muito usado (Navier–Stokes incompressível, viscosidade constante):
\boxed{\rho\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2\mathbf{v} + \rho\mathbf{f},}
com a restrição \nabla\cdot\mathbf{v}=0.\n
  • Observação didática: o termo \mu\nabla^2\mathbf{v} atua como difusão de momento (análoga à difusão de calor pela equação do calor). O termo não-linear (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} é responsável pela convecção (advecção) e é o que gera complexidades como turbulência.\n

Passo 6

Escrever as componentes em coordenadas cartesianas — passo a passo e explicando cada termo\n
  • Coordenadas cartesianas: \mathbf{x}=(x,y,z), velocidade \mathbf{v}=(u,v,w) (onde u é componente em x, v em y, w em z). Continuidade (incompressível):
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0.
  • Navier–Stokes incompressível componentes (para viscosidade constante \mu e densidade \rho; forças de corpo \mathbf{f}=(f_x,f_y,f_z)):
\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right) + \rho f_x,
\rho\left(\frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y} + w\frac{\partial v}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu\left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}\right) + \rho f_y,
\rho\left(\frac{\partial w}{\partial t} + u\frac{\partial w}{\partial x} + v\frac{\partial w}{\partial y} + w\frac{\partial w}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial z} + \mu\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2}\right) + \rho f_z.
  • Didática: cada equação é a projeção da equação vetorial nos eixos x,y,z. O lado esquerdo são termos temporais + advectivos; o lado direito são gradiente de pressão, difusão viscosa (Laplaciano componente a componente) e força de corpo.\n

Passo 7

Coordenadas cilíndricas: definição de variáveis, continuidade e explicar a forma dos termos convectivos\n
  • Convenção: coordenadas (r,\theta,z). Componentes da velocidade: \mathbf{v} = (u_r,u_\theta,u_z) onde \hat{\mathbf{e}}_r,\hat{\mathbf{e}}_\theta,\hat{\mathbf{e}}_z são as direções unitárias locais (note que \hat{\mathbf{e}}_\theta varia com \theta).\n
  • Equação de continuidade (incompressível) em cilíndricas:
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\big(r u_r\big) + \frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} = 0.
  • Termos convectivos (exemplo do termo material na componente radial): material derivative projetado em \hat{\mathbf{e}}_r
\frac{\partial u_r}{\partial t} + u_r\frac{\partial u_r}{\partial r} + \frac{u_\theta}{r}\frac{\partial u_r}{\partial \theta} + u_z\frac{\partial u_r}{\partial z} - \frac{u_\theta^2}{r}.
A observação importante é o termo geométrico -u_\theta^2/r (força centrífuga aparente) que aparece por causa da curvatura da base vetorial.\n

Passo 8

Escrever as equações em coordenadas cilíndricas (incompressível, \mu constante)\n
  • Compressão didática: usaremos a forma padrão encontrada em livros de mecânica dos fluidos. As três componentes (radial, azimutal e axial) são:\n
    Radial ( r-componente):
\rho\!\left(\frac{\partial u_r}{\partial t} + u_r\frac{\partial u_r}{\partial r} + \frac{u_\theta}{r}\frac{\partial u_r}{\partial \theta} + u_z\frac{\partial u_r}{\partial z} - \frac{u_\theta^2}{r}\right) = -\frac{\partial p}{\partial r} + \mu\!\left[\nabla^2 u_r - \frac{u_r}{r^2} - \frac{2}{r^2}\frac{\partial u_\theta}{\partial \theta}\right] + \rho f_r,
Azimutal ( \theta-componente):
\rho\!\left(\frac{\partial u_\theta}{\partial t} + u_r\frac{\partial u_\theta}{\partial r} + \frac{u_\theta}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + u_z\frac{\partial u_\theta}{\partial z} + \frac{u_r u_\theta}{r}\right) = -\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial \theta} + \mu\!\left[\nabla^2 u_\theta - \frac{u_\theta}{r^2} + \frac{2}{r^2}\frac{\partial u_r}{\partial \theta}\right] + \rho f_\theta,
Axial ( z-componente):
\rho\!\left(\frac{\partial u_z}{\partial t} + u_r\frac{\partial u_z}{\partial r} + \frac{u_\theta}{r}\frac{\partial u_z}{\partial \theta} + u_z\frac{\partial u_z}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial z} + \mu\,\nabla^2 u_z + \rho f_z,
onde o Laplaciano escalar (usado em \nabla^2 de cada componente) é
\nabla^2 \varphi = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial \varphi}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2}.
  • Comentário didático: os termos adicionais com 1/r e os termos que envolvem \partial/\partial\theta e u_\theta^2/r vêm da curvatura do sistema e da variação da base unitária com \theta.\n

Passo 9

Coordenadas esféricas: convenção, continuidade e ideia dos termos geométricos\n
  • Convenção (comum): (r,\theta,\varphi) com r raio, \theta ângulo polar (colatitude, 0 no polo norte) e \varphi azimute (longitude). Componentes da velocidade \mathbf{v}=(v_r,v_\theta,v_\varphi) associadas às direções \hat{\mathbf{e}}_r,\hat{\mathbf{e}}_\theta,\hat{\mathbf{e}}_\varphi.\n
  • Continuidade (incompressível) em esféricas:
\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^2 v_r\big) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\big(\sin\theta\, v_\theta\big) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial v_\varphi}{\partial \varphi} = 0.
  • Os termos convectivos projetados têm termos geométricos como -\tfrac{v_\theta^2+v_\varphi^2}{r} na equação radial (projeção da aceleração centrípeta), e termos com \cot\theta devido à variação das direções unitárias com \theta. Por isso as equações ficam longas, mas seguem o padrão: material derivative por componente = força de pressão (derivada direcional) + termos viscosos (Laplaciano vetorial apropriado) + força de corpo.\n

Passo 10

Escrever as equações em coordenadas esféricas (incompressível, \mu constante) — apresentar forma completa padrão\n
  • Usarei a forma padrão encontrada em textos. Três componentes (radial, polar e azimutal):\n
    Radial ( r):
\rho\!\left(\frac{\partial v_r}{\partial t} + v_r\frac{\partial v_r}{\partial r} + \frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_r}{\partial \theta} + \frac{v_\varphi}{r\sin\theta}\frac{\partial v_r}{\partial \varphi} - \frac{v_\theta^2+v_\varphi^2}{r}\right) = -\frac{\partial p}{\partial r} + \mu\Bigg[\nabla^2 v_r - \frac{2v_r}{r^2} - \frac{2}{r^2}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} - \frac{2\cot\theta}{r^2}v_\theta - \frac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial v_\varphi}{\partial \varphi}\Bigg] + \rho f_r,
Polar ( \theta):
\rho\!\left(\frac{\partial v_\theta}{\partial t} + v_r\frac{\partial v_\theta}{\partial r} + \frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} + \frac{v_\varphi}{r\sin\theta}\frac{\partial v_\theta}{\partial \varphi} + \frac{v_r v_\theta}{r} - \frac{v_\varphi^2\cot\theta}{r}\right) = -\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial \theta} + \mu\Bigg[\nabla^2 v_\theta + \frac{2}{r^2}\frac{\partial v_r}{\partial \theta} - \frac{v_\theta}{r^2\sin^2\theta} - \frac{2\cot\theta}{r^2}\frac{\partial v_\varphi}{\partial \varphi}\Bigg] + \rho f_\theta,
Azimutal ( \varphi):
\rho\!\left(\frac{\partial v_\varphi}{\partial t} + v_r\frac{\partial v_\varphi}{\partial r} + \frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_\varphi}{\partial \theta} + \frac{v_\varphi}{r\sin\theta}\frac{\partial v_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{v_r v_\varphi + v_\theta v_\varphi\cot\theta}{r}\right) = -\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial p}{\partial \varphi} + \mu\Bigg[\nabla^2 v_\varphi + \frac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial v_r}{\partial \varphi} + \frac{2\cot\theta}{r^2}\frac{\partial v_\theta}{\partial \varphi} - \frac{v_\varphi}{r^2\sin^2\theta}\Bigg] + \rho f_\varphi,
onde o operador Laplaciano escalar em coordenadas esféricas, aplicado a uma componente, é
\nabla^2 \varphi = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\frac{\partial \varphi}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial \varphi}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial \varphi^2}.
  • Observação didática: as expressões acima são as formas “completas” padrão para Navier–Stokes em coordenadas esféricas (incompressível, viscosidade constante). São longas, mas cada termo tem origem geométrica (derivadas das componentes da base local) ou física (pressão, viscosidade, advecção).\n

Passo 11

Resumo pedagógico final: como usar isso na prova e dicas práticas\n
  • Na prova: comece sempre pela forma vetorial geral (Cauchy) \rho D\mathbf{v}/Dt = -\nabla p + \nabla\cdot\boldsymbol{\tau} + \rho\mathbf{f}. Se o enunciado disser “fluido newtoniano e incompressível”, substitua imediatamente \boldsymbol{\tau}=2\mu\mathbf{S} e \nabla\cdot\mathbf{v}=0 e use a versão com \mu\nabla^2\mathbf{v}.\n
  • Se pedirem coordenadas, escolha a base e componentes conforme simetria do problema: fluxo entre cilindros → cilíndricas; escoamento radial → esféricas; fluxo em canal → cartesianas. Para acelerar, memorize as formas padrão (continuidade e os termos geométricos principais: 1/r em cilíndricas, \cot\theta e r^2 em esféricas) ou derive a partir da forma vetorial usando expressões de \nabla em cada coordenada.\n
  • Se precisar apenas da forma vetorial, use:
\rho\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2\mathbf{v} + (\mu+\lambda)\nabla(\nabla\cdot\mathbf{v}) + \rho\mathbf{f}.
  • Se o exercício for incompressível: use a versão com \mu\nabla^2\mathbf{v} e a restrição \nabla\cdot\mathbf{v}=0.\n

Resposta

\displaystyle \rho\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\right)=-\nabla p+\mu\nabla^{2}\mathbf{v}+(\mu+\lambda)\nabla(\nabla\cdot\mathbf{v})+\rho\mathbf{f}.\n
(incompressível) \displaystyle \nabla\cdot\mathbf{v}=0,\qquad \rho\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\right)=-\nabla p+\mu\nabla^{2}\mathbf{v}+\rho\mathbf{f}.\n
(cartesianas, incompressível) \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0 e\n
\displaystyle \rho\!\left(\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}\right)=-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu\!\left(\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}\right)+\rho f_{x},\n
\displaystyle \rho\!\left(\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}\right)=-\frac{\partial p}{\partial y}+\mu\!\left(\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}v}{\partial z^{2}}\right)+\rho f_{y},\n
\displaystyle \rho\!\left(\frac{\partial w}{\partial t}+u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}\right)=-\frac{\partial p}{\partial z}+\mu\!\left(\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}w}{\partial z^{2}}\right)+\rho f_{z}.\n
(cilíndricas, incompressível) \displaystyle \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r u_{r})+\frac{1}{r}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}+\frac{\partial u_{z}}{\partial z}=0 e\n
\displaystyle \rho\!\left(\frac{\partial u_{r}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{r}}{\partial r}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_{r}}{\partial\theta}+u_{z}\frac{\partial u_{r}}{\partial z}-\frac{u_{\theta}^{2}}{r}\right)=-\frac{\partial p}{\partial r}+\mu\!\left[\nabla^{2}u_{r}-\frac{u_{r}}{r^{2}}-\frac{2}{r^{2}}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}\right]+\rho f_{r},\n
\displaystyle \rho\!\left(\frac{\partial u_{\theta}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}+u_{z}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial z}+\frac{u_{r}u_{\theta}}{r}\right)=-\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial\theta}+\mu\!\left[\nabla^{2}u_{\theta}-\frac{u_{\theta}}{r^{2}}+\frac{2}{r^{2}}\frac{\partial u_{r}}{\partial\theta}\right]+\rho f_{\theta},\n
\displaystyle \rho\!\left(\frac{\partial u_{z}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{z}}{\partial r}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_{z}}{\partial\theta}+u_{z}\frac{\partial u_{z}}{\partial z}\right)=-\frac{\partial p}{\partial z}+\mu\,\nabla^{2}u_{z}+\rho f_{z}.\n
(esféricas, incompressível) \displaystyle \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}(r^{2}v_{r})+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\,v_{\theta})+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial v_{\varphi}}{\partial\varphi}=0 e\n
\displaystyle \rho\!\Big(\frac{\partial v_{r}}{\partial t}+v_{r}\frac{\partial v_{r}}{\partial r}+\frac{v_{\theta}}{r}\frac{\partial v_{r}}{\partial\theta}+\frac{v_{\varphi}}{r\sin\theta}\frac{\partial v_{r}}{\partial\varphi}-\frac{v_{\theta}^{2}+v_{\varphi}^{2}}{r}\Big)=-\frac{\partial p}{\partial r}+\mu\Big[\nabla^{2}v_{r}-\frac{2v_{r}}{r^{2}}-\frac{2}{r^{2}}\frac{\partial v_{\theta}}{\partial\theta}-\frac{2\cot\theta}{r^{2}}v_{\theta}-\frac{2}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial v_{\varphi}}{\partial\varphi}\Big]+\rho f_{r},\n
\displaystyle \rho\!\Big(\frac{\partial v_{\theta}}{\partial t}+v_{r}\frac{\partial v_{\theta}}{\partial r}+\frac{v_{\theta}}{r}\frac{\partial v_{\theta}}{\partial\theta}+\frac{v_{\varphi}}{r\sin\theta}\frac{\partial v_{\theta}}{\partial\varphi}+\frac{v_{r}v_{\theta}}{r}-\frac{v_{\varphi}^{2}\cot\theta}{r}\Big)=-\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial\theta}+\mu\Big[\nabla^{2}v_{\theta}+\frac{2}{r^{2}}\frac{\partial v_{r}}{\partial\theta}-\frac{v_{\theta}}{r^{2}\sin^{2}\theta}-\frac{2\cot\theta}{r^{2}}\frac{\partial v_{\varphi}}{\partial\varphi}\Big]+\rho f_{\theta},\n
\displaystyle \rho\!\Big(\frac{\partial v_{\varphi}}{\partial t}+v_{r}\frac{\partial v_{\varphi}}{\partial r}+\frac{v_{\theta}}{r}\frac{\partial v_{\varphi}}{\partial\theta}+\frac{v_{\varphi}}{r\sin\theta}\frac{\partial v_{\varphi}}{\partial\varphi}+\frac{v_{r}v_{\varphi}+v_{\theta}v_{\varphi}\cot\theta}{r}\Big)=-\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial p}{\partial\varphi}+\mu\Big[\nabla^{2}v_{\varphi}+\frac{2}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial v_{r}}{\partial\varphi}+\frac{2\cot\theta}{r^{2}}\frac{\partial v_{\theta}}{\partial\varphi}-\frac{v_{\varphi}}{r^{2}\sin^{2}\theta}\Big]+\rho f_{\varphi}.

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