Questão 3 - Considere calhas retangulares de concreto liso com lâmina d’água a meia altura. Calcule a vazão para as declividades de 0,5 \%, 1 \% e 2 \%, considerando as dimensões da calha com largura =0,40 metros e altura =0,30 metros. ( \mathbf{3 , 0} pontos)

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a vazão para calhas retangulares de concreto liso quando a lâmina d’água está à meia altura da calha, para três declividades diferentes. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\text{largura } b = 0{,}40\\ \text{m}
\text{altura total da calha } H = 0{,}30\\ \text{m}
\text{profundidade da lâmina } y = \frac{H}{2} = 0{,}15\\ \text{m}â
Declividades pedidas:
S_1 = 0{,}5\% = 0{,}005,\quad S_2 = 1\% = 0{,}01,\quad S_3 = 2\% = 0{,}02.
Pergunta: calcular a vazão Q (em \text{m}^3/\text{s}) para cada declividade, usando as dimensões e a lâmina informadas.

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (explicação curta e amigável): para canais abertos é muito comum usar a fórmula de Manning para velocidade média em escoamento uniforme. Ela é simples, adequada para calhas de concreto liso e o enunciado não exige outro método, então é a escolha natural. A fórmula de Manning é:
v = \frac{1}{n} R^{2/3} S^{1/2}
onde:
  • v é a velocidade média do escoamento ( \text{m}/\text{s});
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional);
  • R é o raio hidráulico ( \text{m});
  • S é a declividade do leito (adimensional, por ex. 0{,}01 para 1\%).
A vazão é obtida pela relação clássica:
Q = A\,v
onde A é a área da seção molhada ( \text{m}^2).
Comentário sobre n: para concreto liso um valor típico usado em exercícios e projetos é \,n=0{,}013. Vou adotar esse valor (se seu professor usa outro valor, a receita é a mesma; mudo só o número no cálculo).

Passo 3

Definir e calcular a área da seção molhada A e o perímetro molhado P (essas são fórmulas padrão para seção retangular):
A = b\,y
P = b + 2y
Substituindo os números dados:
A = 0{,}40 \times 0{,}15 = 0{,}06\\ \text{m}^2
P = 0{,}40 + 2\times 0{,}15 = 0{,}40 + 0{,}30 = 0{,}70\\ \text{m}

Passo 4

Calcular o raio hidráulico R, que é definido por
R = \frac{A}{P}.
Substituindo os valores calculados:
R = \frac{0{,}06}{0{,}70} = 0{,}0857142857\\ \text{m}\approx 0{,}08571\\ \text{m}.
Explicando o que é R de forma simples: R representa “a área molhada por unidade de perímetro molhado”; é uma medida eficaz do tamanho da seção em termos hidráulicos (quanto maior R, em geral mais eficiente o escoamento).

Passo 5

Calcular R^{2/3} (porque aparece na fórmula de Manning). Vamos detalhar a conta:
R^{2/3} = \bigl(0{,}0857142857\bigr)^{2/3}.
Um jeito direto é primeiro extrair a raiz cúbica e depois elevar ao quadrado; numericamente isso dá
R^{2/3} \approx 0{,}1949\\ (\text{m}^{2/3}).
(Se você fizer na prova sem calculadora, pode memorizar que pequenas aproximações são aceitáveis ou usar uma calculadora científica; aqui eu mantenho 4 casas significativas para precisão nas respostas.)

Passo 6

Calcular o fator multiplicador da velocidade que combina 1/n e R^{2/3}:
\frac{1}{n} R^{2/3} = \frac{1}{0{,}013}\times 0{,}1949 \approx 76{,}9231\times 0{,}1949 \approx 14{,}9923.
Isso significa que a velocidade média será aproximadamente
v \approx 14{,}9923\;S^{1/2}.
Dica prática: escreva o coeficiente consolidado e depois apenas substitua \sqrt{S} para cada declividade — economiza tempo na prova.

Passo 7

Agora calculamos a vazão geral em função de S. Lembrando que Q = A\,v e que já temos A = 0{,}06\\ \text{m}^2 e o coeficiente 14{,}9923, então:
Q = A \times v = 0{,}06 \times 14{,}9923\; S^{1/2} \approx 0{,}899538\; S^{1/2}.
Ou seja, para qualquer declividade S,
Q\\ (\text{m}^3/\text{s}) \approx 0{,}89954\\ \sqrt{S}.

Passo 8

Calcular Q para cada declividade fornecida. Vou fazer uma a uma, mostrando a raiz quadrada e a multiplicação.
Para \,S_1 = 0{,}005:
\sqrt{S_1} = \sqrt{0{,}005} \approx 0{,}0707107.
Q_1 \approx 0{,}899538 \times 0{,}0707107 \approx 0{,}0637\\ \text{m}^3/\text{s}.
Para \,S_2 = 0{,}01:
\sqrt{S_2} = \sqrt{0{,}01} = 0{,}1.
Q_2 \approx 0{,}899538 \times 0{,}1 \approx 0{,}0900\\ \text{m}^3/\text{s}.
Para \,S_3 = 0{,}02:
\sqrt{S_3} = \sqrt{0{,}02} \approx 0{,}1414214.
Q_3 \approx 0{,}899538 \times 0{,}1414214 \approx 0{,}1272\\ \text{m}^3/\text{s}.

Passo 9

Interpretação rápida e incentivo: pronto — a vazão cresce com a raiz da declividade (ou seja, duplicar a declividade não duplica a vazão, aumenta por um fator \sqrt{2}). Ótimo trabalho por chegar até aqui — mesmo com pouco tempo, decorar a receita (área, perímetro, raio hidráulico, Manning) resolve várias questões de prova sobre calhas.

Resposta

Q(S=0{,}005) \approx 0{,}0637\\ \text{m}^3/\text{s}
Q(S=0{,}01) \approx 0{,}0900\\ \text{m}^3/\text{s}
Q(S=0{,}02) \approx 0{,}1272\\ \text{m}^3/\text{s}

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