Como deduzir a fórmula para a altura do corpo em queda em função do tempo (Equação 7.1)?

Passo 1

O objetivo é deduzir a fórmula que dá a altura do corpo em queda em função do tempo (a tal “Equação 7.1”). O enunciado pede: obter uma expressão para a posição vertical y do corpo em função do tempo t. As informações relevantes que usamos (tudo que o enunciado normalmente fornece ou que é padrão neste problema) são:
  • A aceleração gravitacional é constante e igual a g em módulo. Vou usar a convenção que o eixo vertical positivo é para cima, então a aceleração é -g.
  • A posição inicial do corpo no instante t=0 é \,y(0)=y_0.
  • A velocidade inicial do corpo no instante t=0 é \,v(0)=v_0.
  • Queremos y(t), a altura (posição vertical) em função do tempo t.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (aula rápida e prática):
  • A posição y(t) é uma função do tempo. A velocidade instantânea é a derivada da posição:
v(t)=\frac{d}{dt}y(t)=y'(t).
  • A aceleração é a derivada da velocidade, ou a segunda derivada da posição:
a(t)=\frac{d}{dt}v(t)=v'(t)=y''(t).
Essas relações são fundamentais: derivada de posição → velocidade; derivada de velocidade → aceleração. Na prova, quando souberes a aceleração, podes integrar para obter velocidade e integrar novamente para obter posição.

Passo 3

Escrevendo a informação física como equação diferencial:
  • Como a aceleração é constante e aponta para baixo, temos
y''(t)=-g.
Isto é uma equação diferencial muito simples: a segunda derivada de y é uma constante negativa. Agora integramos essa equação para obter a velocidade.
Integração 1 (da aceleração para a velocidade):
y''(t)=-g \quad\Longrightarrow\quad y'(t)=\int -g\,dt = -g t + C_{1}.
Aqui C_{1} é uma constante de integração. Para determinar C_{1} usamos a condição inicial da velocidade: y'(0)=v(0)=v_0. Substituindo t=0 na expressão acima:
v_0 = y'(0) = -g\cdot 0 + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=v_0.
Logo a velocidade em função do tempo é
v(t)=y'(t)=v_0 - g t.
Interpretação rápida: o termo v_0 é a velocidade inicial; o termo -g t é a redução da velocidade por causa da gravidade (se v_0=0, o corpo adquire velocidade para baixo proporcional a t).

Passo 4

Integração 2 (da velocidade para a posição):
Agora integramos v(t)=v_0 - g t para achar y(t):
y(t)=\int v(t)\,dt = \int (v_0 - g t)\,dt = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Usamos a condição inicial de posição y(0)=y_0 para achar C_{2}:
y_0 = y(0) = v_0\cdot 0 - \frac{1}{2}g\cdot 0^2 + C_{2} \quad\Longrightarrow\quad C_{2}=y_0.
Portanto a posição do corpo em função do tempo é
y(t)=y_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2.

Passo 5

Interpretação dos termos e observações úteis para a prova:
  • \,y_0 é a altura inicial (constante).
  • \,v_0 t é a contribuição linear da velocidade inicial (deslocamento que viria só por movimento uniforme).
  • \,-\tfrac{1}{2} g t^2 é a contribuição do movimento uniformemente acelerado (a componente quadrática que faz a posição curvar para baixo).
  • Atenção à convenção de sinais: eu escolhi o eixo positivo para cima, por isso a aceleração é -g. Se, por acaso, adotarem o eixo positivo para baixo, a fórmula vira y(t)=y_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} g t^2; sempre verifique a convenção no enunciado.
  • Unidade: se g está em \mathrm{m/s^2}, v_0 em \mathrm{m/s} e t em \mathrm{s}, então y(t) fica em \mathrm{m}.

Passo 6

Dica prática para a prova (resumão que vale ouro):
  • Se te pedirem deduzir, lembra: aceleração → integrar → velocidade → integrar → posição, usando condições iniciais para achar constantes.
  • Memoriza a forma final mas, se esquecer, refaz rápido as integrações — são duas integrais simples.
  • Para achar o tempo de queda até o solo (se o solo corresponde a y=0), resolve a equação quadrática \,y_0 + v_0 t - \tfrac{1}{2} g t^2 = 0 (usa fórmula de Bhaskara).
  • Seja cuidadoso com o sinal de g e com o sinal de v_0 (subida positiva vs descida positiva). Respira fundo, você consegue!

Resposta

y(t)=y_0+v_0 t-\frac{1}{2} g t^2

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