Como deduzir a fórmula para a altura do corpo em queda em função do tempo (Equação 7.1)?
Passo 1
O objetivo é deduzir a fórmula que dá a altura do corpo em queda em função do tempo (a tal “Equação 7.1”). O enunciado pede: obter uma expressão para a posição vertical
do corpo em função do tempo
. As informações relevantes que usamos (tudo que o enunciado normalmente fornece ou que é padrão neste problema) são:
- A aceleração gravitacional é constante e igual a
em módulo. Vou usar a convenção que o eixo vertical positivo é para cima, então a aceleração é . - A posição inicial do corpo no instante
é . - A velocidade inicial do corpo no instante
é . - Queremos
, a altura (posição vertical) em função do tempo .
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (aula rápida e prática):
- A posição
é uma função do tempo. A velocidade instantânea é a derivada da posição:
- A aceleração é a derivada da velocidade, ou a segunda derivada da posição:
Essas relações são fundamentais: derivada de posição → velocidade; derivada de velocidade → aceleração. Na prova, quando souberes a aceleração, podes integrar para obter velocidade e integrar novamente para obter posição.
Passo 3
Escrevendo a informação física como equação diferencial:
- Como a aceleração é constante e aponta para baixo, temos
Isto é uma equação diferencial muito simples: a segunda derivada de
é uma constante negativa. Agora integramos essa equação para obter a velocidade.
Integração 1 (da aceleração para a velocidade):
Aqui
é uma constante de integração. Para determinar
usamos a condição inicial da velocidade:
. Substituindo
na expressão acima:
Logo a velocidade em função do tempo é
Interpretação rápida: o termo
é a velocidade inicial; o termo
é a redução da velocidade por causa da gravidade (se
, o corpo adquire velocidade para baixo proporcional a
).
Passo 4
Integração 2 (da velocidade para a posição):
Agora integramos para achar
:
Agora integramos
onde
é outra constante de integração. Usamos a condição inicial de posição
para achar
:
Portanto a posição do corpo em função do tempo é
Passo 5
Interpretação dos termos e observações úteis para a prova:
-
é a altura inicial (constante). -
é a contribuição linear da velocidade inicial (deslocamento que viria só por movimento uniforme). -
é a contribuição do movimento uniformemente acelerado (a componente quadrática que faz a posição curvar para baixo). - Atenção à convenção de sinais: eu escolhi o eixo positivo para cima, por isso a aceleração é
. Se, por acaso, adotarem o eixo positivo para baixo, a fórmula vira ; sempre verifique a convenção no enunciado. - Unidade: se
está em , em e em , então fica em .
Passo 6
Dica prática para a prova (resumão que vale ouro):
- Se te pedirem deduzir, lembra: aceleração → integrar → velocidade → integrar → posição, usando condições iniciais para achar constantes.
- Memoriza a forma final mas, se esquecer, refaz rápido as integrações — são duas integrais simples.
- Para achar o tempo de queda até o solo (se o solo corresponde a
), resolve a equação quadrática (usa fórmula de Bhaskara). - Seja cuidadoso com o sinal de
e com o sinal de (subida positiva vs descida positiva). Respira fundo, você consegue!