43- Expressão analítica para o calor específico de um sólido de Einstein
Mostrem, utilizando a distribuição de Boltzmann, que o calor específico por átomo em um sólido de Einstein macroscópico (ou seja, com número de átomos tendendo a infinito) depende da temperatura segundo a expressão analítica
.
Dica: determinem a distribuição de Boltzmann normalizada para um único oscilador do sólido de Einstein, em contato com um banho térmico a uma temperatura T (fornecido, por exemplo, pelo restante do sólido), e calculem a energia média por átomo, E , em função da temperatura. O calor específico será dado por
. Vocês podem querer fazer uso das identidades matemáticas
e
2, válidas para
. Vocês são capazes de demonstrá-las?
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Pede: mostrar que o calor específico por átomo num sólido de Einstein é
- Informação importante (implícita no modelo de Einstein): cada átomo age como três osciladores harmônicos quânticos independentes (um por direção), cada oscilador com níveis de energia
- Devemos usar a distribuição de Boltzmann (sistema em contato com banho térmico a temperatura
), calcular a energia média por átomo e então obter o calor específico por átomo como
- Dica do enunciado: usar as somas
válidas para
. Mais adiante eu demonstro essas identidades.
Passo 2
Escrevendo a distribuição de Boltzmann normalizada para um único oscilador.
- A probabilidade de o oscilador estar no nível
é proporcional a , onde definimos . - A distribuição normalizada é
onde
é a função de partição (constante de normalização)
- Substituindo
temos
Passo 3
Calcular a partição
usando a soma geométrica.
- Use a identidade geométrica
para . Prova rápida: para a soma infinita converge e multiplica-se ambos os lados por para verificar. (Vou demonstrar formalmente no Passo 5.) - Aqui tome
, que de fato satisfaz porque . - Então
Passo 4
Expressão para a energia média por oscilador
(somatório direto).
- A energia média é
- Substitua
e extraia fatores:
- Escreva esse somatório como
onde
.
Passo 5
Demonstrar as identidades de somas necessárias.
- Identidade 1 (geométrica):
Demonstração rápida: considere
. Então
. Subtraindo,
, logo
e
.
- Identidade 2 (soma com fator
):
Demonstração: parta da identidade geométrica e derive em
:
Multiplique por
para obter
. (A derivação termo a termo é válida para
.)
- Essas duas identidades são exatamente as sugeridas no enunciado.
Passo 6
Avaliar explicitamente os somatórios para obter
.
- Usando as identidades com
temos
- Voltemos ao numerador encontrado no Passo 4:
- O denominador (partição) é
. Dividindo numerador por cancela o fator e um fator , ficando
- Substitua
. Note que
- Portanto a energia média por oscilador fica
(Isto é intuitivo: a primeira parcela é a energia de ponto zero, independente de
; a segunda é a contribuição térmica.)
Passo 7
Passar da energia média ao calor específico por oscilador (derivada em
), e simplificar.
- Como o termo
é independente de , ele não contribui para o calor específico. Então foquemos em
- Defina
. Então . - Queremos
. Use a regra da cadeia:
- Calcule a derivada de
:
- Então
- Simplificando sinais:
- Lembre que
, então . Substituindo:
Passo 8
Passar de um oscilador para o sólido (por átomo) e escrever a expressão final.
- Cada átomo corresponde a três osciladores independentes (três graus de liberdade espaciais). Assim o calor específico por átomo é três vezes o valor por oscilador:
- Esta é exatamente a expressão pedida. (Observação: em notação alternativa às vezes escreve-se
e a fórmula fica .)