Um pêndulo simples de massa
g é solto do repouso, de uma altura vertical de
, e sofre um choque com um bloco de massa 100 g que estava inicialmente parado sobre uma superficie horizontal sem atrito. Após esta primeira colisão o pendulo permanece estático e o bloco adquire energía cinética. (a) Qual a velocidade do bloco após a colisão do pêndulo? (b) Qual o impulso sofrido pelo bloco neste choque? (c) Após ser atingido pelo pêndulo, o primeiro bloco entra em movimento e sofre um choque parcialmente elástico com um segundo bloco de
, que também estava inicialmente parado, sendo que a velocidade do primeiro bloco cai pela metade. Qual a velocidade final do segundo bloco?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
-
Dados fornecidos:
- Massa do pêndulo:
. Vou chamar a massa do pêndulo de e convertê‑la para kg:
- O pêndulo é solto do repouso a uma altura vertical
. Isso significa que, ao atingir o ponto mais baixo (antes da colisão), toda a energia potencial gravitacional terá sido convertida em energia cinética. - Massa do primeiro bloco:
. Vou chamá‑la de e convertê‑la:
- O primeiro bloco está inicialmente em repouso.
- Após a colisão do pêndulo com o primeiro bloco, o pêndulo permanece estático (ou seja, sua velocidade final após o choque é zero) e o bloco adquire velocidade.
- Há um segundo bloco de massa
. Vou chamá‑lo de e convertê‑lo:
- O segundo bloco está inicialmente em repouso.
- Depois, o primeiro bloco (que saiu movendo‑se após a primeira colisão) colide com o segundo bloco; após essa colisão a velocidade do primeiro bloco cai para a metade de seu valor imediatamente antes do choque entre os blocos (isto é,
é metade de ).
- Massa do pêndulo:
-
Perguntas:
(a) Qual a velocidade do primeiro bloco imediatamente após a colisão com o pêndulo?
(b) Qual o impulso sofrido pelo primeiro bloco neste choque?
(c) Na colisão entre os dois blocos, sabendo que a velocidade do primeiro bloco fica pela metade, qual a velocidade final do segundo bloco?
Observação: vou usar
para a aceleração da gravidade (tipicamente
). Não foi dado coeficiente de restituição para a segunda colisão, mas a informação “a velocidade do primeiro bloco cai pela metade” permite aplicar conservação do momento linear para determinar a velocidade do segundo bloco.
Passo 2
Primeiro, calculamos a velocidade do pêndulo imediatamente antes da colisão usando conservação de energia mecânica (sem atrito).
- Conceito: energia potencial gravitacional no alto,
. No ponto mais baixo, essa energia vira energia cinética . Conservação de energia dá:
- Podemos cancelar
(desde que ), resultando em:
- Isolando
(velocidade do pêndulo imediatamente antes do choque):
Aqui
está em
. Explicação: essa é a fórmula usual para velocidade adquirida por queda livre de altura
.
Passo 3
Agora tratamos a colisão entre o pêndulo (
) e o primeiro bloco (
).
- Conceito: durante a colisão horizontal e curta, desprezando forças externas horizontais, o momento linear total do sistema se conserva. Ou seja:
onde
é a velocidade final do pêndulo e
é a velocidade do primeiro bloco logo após a colisão.
- Pelo enunciado, o pêndulo permanece estático após o choque, então
. Substituindo:
- Isolando
:
- Agora substituímos
, e :
- Interpretação: a razão
é adimensional; multiplicando pela velocidade do pêndulo dá a velocidade do bloco.
Passo 4
Calculamos o impulso sofrido pelo primeiro bloco no choque com o pêndulo.
- Conceito: impulso
, é a variação do momento linear do corpo sobre o qual age. Para o primeiro bloco, que estava inicialmente em repouso e passa a ter velocidade , o impulso (magnitude e direção do impulso aplicado pelo pêndulo sobre o bloco) é:
- Usando o resultado do passo anterior:
- Substituindo
e :
- Observação intérprete: o impulso sobre o bloco é igual ao momento inicial do pêndulo, pois o pêndulo fica parado ao final.
Passo 5
Agora tratamos a colisão entre o primeiro bloco (massa
, velocidade antes do choque
) e o segundo bloco (massa
, velocidade inicial zero). Do enunciado sabemos que, após essa colisão, a velocidade do primeiro bloco cai para metade do valor que tinha imediatamente antes do choque entre blocos. Ou seja:
onde
é a velocidade do primeiro bloco após colidir com o segundo.
- Aplicamos conservação do momento linear para a colisão entre os dois blocos:
onde
é a velocidade final do segundo bloco que queremos achar.
- Isolando
:
Portanto
- Substituímos
, e (do passo 3):
- Simplificamos a razão de massas:
Logo
- Simplificando:
- Interpretação: a velocidade final do segundo bloco é proporcional à razão das massas dadas em gramas (
e ) e à velocidade característica obtida pela queda do pêndulo.
Resposta
(a)
(b)
(c)