Um pêndulo simples de massa \xi g é solto do repouso, de uma altura vertical de \delta \mathrm{m}, e sofre um choque com um bloco de massa 100 g que estava inicialmente parado sobre uma superficie horizontal sem atrito. Após esta primeira colisão o pendulo permanece estático e o bloco adquire energía cinética. (a) Qual a velocidade do bloco após a colisão do pêndulo? (b) Qual o impulso sofrido pelo bloco neste choque? (c) Após ser atingido pelo pêndulo, o primeiro bloco entra em movimento e sofre um choque parcialmente elástico com um segundo bloco de \Psi \mathrm{g}, que também estava inicialmente parado, sendo que a velocidade do primeiro bloco cai pela metade. Qual a velocidade final do segundo bloco?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
  • Dados fornecidos:
    • Massa do pêndulo: \xi\\ \mathrm{g}. Vou chamar a massa do pêndulo de m_p e convertê‑la para kg:
    m_p=\frac{\xi}{1000}\\ \mathrm{kg}.
    • O pêndulo é solto do repouso a uma altura vertical \delta\\ \mathrm{m}. Isso significa que, ao atingir o ponto mais baixo (antes da colisão), toda a energia potencial gravitacional (m_p g\delta) terá sido convertida em energia cinética.
    • Massa do primeiro bloco: 100\\ \mathrm{g}. Vou chamá‑la de m_1 e convertê‑la:
    m_1=0{,}100\\ \mathrm{kg}.
    • O primeiro bloco está inicialmente em repouso.
    • Após a colisão do pêndulo com o primeiro bloco, o pêndulo permanece estático (ou seja, sua velocidade final após o choque é zero) e o bloco adquire velocidade.
    • Há um segundo bloco de massa \Psi\\ \mathrm{g}. Vou chamá‑lo de m_2 e convertê‑lo:
    m_2=\frac{\Psi}{1000}\\ \mathrm{kg}.
    • O segundo bloco está inicialmente em repouso.
    • Depois, o primeiro bloco (que saiu movendo‑se após a primeira colisão) colide com o segundo bloco; após essa colisão a velocidade do primeiro bloco cai para a metade de seu valor imediatamente antes do choque entre os blocos (isto é, v_1' é metade de v_1).
  • Perguntas:
    (a) Qual a velocidade do primeiro bloco imediatamente após a colisão com o pêndulo?
    (b) Qual o impulso sofrido pelo primeiro bloco neste choque?
    (c) Na colisão entre os dois blocos, sabendo que a velocidade do primeiro bloco fica pela metade, qual a velocidade final do segundo bloco?
Observação: vou usar g para a aceleração da gravidade (tipicamente g\approx 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}). Não foi dado coeficiente de restituição para a segunda colisão, mas a informação “a velocidade do primeiro bloco cai pela metade” permite aplicar conservação do momento linear para determinar a velocidade do segundo bloco.

Passo 2

Primeiro, calculamos a velocidade do pêndulo imediatamente antes da colisão usando conservação de energia mecânica (sem atrito).
  • Conceito: energia potencial gravitacional no alto, E_{pot}=m_p g \delta. No ponto mais baixo, essa energia vira energia cinética E_{cin}=\tfrac{1}{2}m_p v_p^2. Conservação de energia dá:
m_p g \delta = \tfrac{1}{2} m_p v_p^2.
  • Podemos cancelar m_p (desde que m_p\neq 0), resultando em:
g\delta = \tfrac{1}{2} v_p^2.
  • Isolando v_p (velocidade do pêndulo imediatamente antes do choque):
v_p = \sqrt{2 g \delta}.
Aqui v_p está em \mathrm{m/s}. Explicação: essa é a fórmula usual para velocidade adquirida por queda livre de altura \delta.

Passo 3

Agora tratamos a colisão entre o pêndulo ( m_p) e o primeiro bloco ( m_1).
  • Conceito: durante a colisão horizontal e curta, desprezando forças externas horizontais, o momento linear total do sistema se conserva. Ou seja:
m_p v_p + m_1\cdot 0 = m_p v_p' + m_1 v_1,
onde v_p' é a velocidade final do pêndulo e v_1 é a velocidade do primeiro bloco logo após a colisão.
  • Pelo enunciado, o pêndulo permanece estático após o choque, então v_p'=0. Substituindo:
m_p v_p = m_1 v_1.
  • Isolando v_1:
v_1 = \frac{m_p}{m_1}\, v_p.
  • Agora substituímos m_p=\dfrac{\xi}{1000}, m_1=0{,}100 e v_p=\sqrt{2 g \delta}:
v_1 = \frac{\dfrac{\xi}{1000}}{0{,}100}\,\sqrt{2 g \delta} = \frac{\xi}{100}\,\sqrt{2 g \delta}.
  • Interpretação: a razão \dfrac{m_p}{m_1}=\dfrac{\xi/1000}{0{,}100}=\dfrac{\xi}{100} é adimensional; multiplicando pela velocidade do pêndulo dá a velocidade do bloco.

Passo 4

Calculamos o impulso sofrido pelo primeiro bloco no choque com o pêndulo.
  • Conceito: impulso \,J, é a variação do momento linear do corpo sobre o qual age. Para o primeiro bloco, que estava inicialmente em repouso e passa a ter velocidade v_1, o impulso (magnitude e direção do impulso aplicado pelo pêndulo sobre o bloco) é:
J = \Delta p = m_1(v_1 - 0) = m_1 v_1.
  • Usando o resultado do passo anterior:
J = m_1 \left(\frac{m_p}{m_1} v_p\right)= m_p v_p.
  • Substituindo m_p=\dfrac{\xi}{1000} e v_p=\sqrt{2 g \delta}:
J = \frac{\xi}{1000}\,\sqrt{2 g \delta}\quad\text{(em \(\mathrm{kg\cdot m/s}\))}.
  • Observação intérprete: o impulso sobre o bloco é igual ao momento inicial do pêndulo, pois o pêndulo fica parado ao final.

Passo 5

Agora tratamos a colisão entre o primeiro bloco (massa m_1, velocidade antes do choque v_1) e o segundo bloco (massa m_2=\dfrac{\Psi}{1000}, velocidade inicial zero). Do enunciado sabemos que, após essa colisão, a velocidade do primeiro bloco cai para metade do valor que tinha imediatamente antes do choque entre blocos. Ou seja:
v_1' = \frac{v_1}{2},
onde v_1' é a velocidade do primeiro bloco após colidir com o segundo.
  • Aplicamos conservação do momento linear para a colisão entre os dois blocos:
m_1 v_1 + m_2\cdot 0 = m_1 v_1' + m_2 v_2',
onde v_2' é a velocidade final do segundo bloco que queremos achar.
  • Isolando v_2':
m_2 v_2' = m_1(v_1 - v_1') = m_1\left(v_1 - \frac{v_1}{2}\right) = m_1\left(\frac{v_1}{2}\right).
Portanto
v_2' = \frac{m_1}{m_2}\cdot\frac{v_1}{2}.
  • Substituímos m_1=0{,}100, m_2=\dfrac{\Psi}{1000} e v_1=\dfrac{\xi}{100}\sqrt{2 g \delta} (do passo 3):
v_2' = \frac{0{,}100}{\dfrac{\Psi}{1000}}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\xi}{100}\sqrt{2 g \delta}.
  • Simplificamos a razão de massas:
\frac{0{,}100}{\dfrac{\Psi}{1000}} = \frac{0{,}100\cdot 1000}{\Psi} = \frac{100}{\Psi}.
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v_2' = \frac{100}{\Psi}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\xi}{100}\sqrt{2 g \delta} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\xi}{\Psi}\sqrt{2 g \delta}.
  • Simplificando:
v_2' = \frac{\xi}{2\Psi}\,\sqrt{2 g \delta}.
  • Interpretação: a velocidade final do segundo bloco é proporcional à razão das massas dadas em gramas ( \xi e \Psi) e à velocidade característica \sqrt{2 g \delta} obtida pela queda do pêndulo.

Resposta

(a) v_1=\dfrac{\xi}{100}\,\sqrt{2 g \delta}.
(b) J=\dfrac{\xi}{1000}\,\sqrt{2 g \delta}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
(c) v_2'=\dfrac{\xi}{2\Psi}\,\sqrt{2 g \delta}.

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