Defina se os argumentos abaixo são válidos com Tableaux. Caso não sejam, mostre o contraexemplo.
(a \wedge b),(b \rightarrow c), \neg c \vdash \neg a

Passo 1

O enunciado pede para verificar se de (a \wedge b), (b \rightarrow c) e \neg c se segue \neg a usando Tableaux. Em Tableaux de validade, assumimos as premissas e a negação da conclusão (isto é, a) e mostramos que não há nenhuma atribuição de verdade que torne tudo verdade ao mesmo tempo.

Passo 2

Escrevemos o conjunto inicial de fórmulas no tableau:
\{\,a \wedge b,\;b \rightarrow c,\;\neg c,\;a\}.

Passo 3

Expandimos a conjunção a \wedge b pela regra “ \wedge”:
– adicionamos a e b.
Agora temos nas folhas:
a,\;b,\;b \rightarrow c,\;\neg c,\;a.

Passo 4

Expandimos a implicação b \rightarrow c. Em Tableaux, usamos a equivalência b \rightarrow c\equiv \neg b\lor c, gerando dois ramos:
Ramo 1: acrescenta \neg b.
Ramo 2: acrescenta c.

Passo 5

Examinamos cada ramo:
– Ramo 1 contém b e \neg b: contradição, o ramo fecha.
– Ramo 2 contém c e \neg c: contradição, o ramo fecha.
Como ambos os ramos fecham, o tableau inteiro fecha.

Resposta

O tabletop fecha completamente, logo não existe modelo que torne verdadeiras simultaneamente (a \wedge b), (b \rightarrow c), \neg c e a. Assim, valida-se \neg a. Portanto, o argumento é válido.

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