Defina se os argumentos abaixo são válidos com Tableaux. Caso não sejam, mostre o contraexemplo.
(p \rightarrow q), q \vdash p

Passo 1

O enunciado pede para verificar, por meio de tableaux semântico, se o argumento
(p \rightarrow q),\;q\;\vdash\;p
é válido. Se não for, devemos apresentar um contraexemplo (uma valoração que torne as premissas verdadeiras e a conclusão falsa).

Passo 2

Para testar validade por tableaux, montamos o conjunto de fórmulas formado pelas premissas mais a negação da conclusão:
\{\,p \rightarrow q,\;q,\;\neg p\}.
Se o tableaux fechar em todas as ramificações, o argumento é válido; se houver ao menos uma ramificação aberta, o argumento é inválido e dessa ramificação extraímos o contraexemplo.

Passo 3

Começamos a decompor cada fórmula:
  1. p \rightarrow q é equivalente a \neg p \lor q, que no tableaux se expande em duas ramificações:
  • ramificação A: \neg p
  • ramificação B: q 2. As outras fórmulas são literais:
  • q
  • \neg p

Passo 4

Desenhando o tableaux:
 p→q, q, ¬p
 |
 ------------------------
 | |
 ¬p q
 | |
 q,¬p q,¬p
Em cada ramo juntamos também as literais q e \neg p que vinham de premissas:
  • Ramo A: contém \neg p (duas cópias, mas sem contradição) e q.
  • Ramo B: contém q (duas cópias) e \neg p.
Nenhum ramo contém uma fórmula e sua negação simultaneamente, logo ambos ficam abertos.

Passo 5

Como existe ramificação aberta, o conjunto é satisfatível e o argumento é inválido. Extraímos a valoração da ramificação aberta A (ou B), que nos diz quais atômicos são verdadeiros e quais são falsos:
  • \neg p está no ramo ⇒ p é falso.
  • q está no ramo ⇒ q é verdadeiro.
Verificação:
p \rightarrow q \text{ é verdadeiro (pois }p\text{ é falso)},\quad q \text{ é verdadeiro},\quad p \text{ é falso}.éééé
Portanto essa valoração torna as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.

Resposta

O argumento não é válido. Contraexemplo: v(p)=\text{F},\;v(q)=\text{V}.

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