Defina se os argumentos abaixo são válidos com Tableaux. Caso não sejam, mostre o contraexemplo.
Passo 1
O enunciado pede para verificar, por meio de tableaux semântico, se o argumento
é válido. Se não for, devemos apresentar um contraexemplo (uma valoração que torne as premissas verdadeiras e a conclusão falsa).
Passo 2
Para testar validade por tableaux, montamos o conjunto de fórmulas formado pelas premissas mais a negação da conclusão:
Se o tableaux fechar em todas as ramificações, o argumento é válido; se houver ao menos uma ramificação aberta, o argumento é inválido e dessa ramificação extraímos o contraexemplo.
Passo 3
Começamos a decompor cada fórmula:
-
é equivalente a , que no tableaux se expande em duas ramificações:
- ramificação A:
- ramificação B:
2. As outras fórmulas são literais: -
-
Passo 4
Desenhando o tableaux:
p→q, q, ¬p
|
------------------------
| |
¬p q
| |
q,¬p q,¬p
Em cada ramo juntamos também as literais
e
que vinham de premissas:
- Ramo A: contém
(duas cópias, mas sem contradição) e . - Ramo B: contém
(duas cópias) e .
Nenhum ramo contém uma fórmula e sua negação simultaneamente, logo ambos ficam abertos.
Passo 5
Como existe ramificação aberta, o conjunto é satisfatível e o argumento é inválido. Extraímos a valoração da ramificação aberta A (ou B), que nos diz quais atômicos são verdadeiros e quais são falsos:
-
está no ramo ⇒ é falso. -
está no ramo ⇒ é verdadeiro.
Verificação:
Portanto essa valoração torna as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.
Resposta
O argumento não é válido. Contraexemplo:
.