Defina se cada um dos sinais abaixo é de Potência ou de Energia e calcule o seu valor.
Passo 1
O enunciado dá o sinal
e pede duas coisas:
- Determinar se o sinal é de energia ou de potência.
- Calcular o valor correspondente (energia total
se for sinal de energia; ou potência média se for sinal de potência).
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
-
está definido para todo . -
é a função degrau unitário, isto é, para e para . - Portanto, o sinal vale zero para
e vale para .
Passo 2
Relembrando as definições (com explicação do que cada símbolo significa):
- Energia total do sinal
:
onde
é o quadrado do módulo de
(aqui
é real, então
).
- Potência média do sinal
:
Interpretação rápida: se
então o sinal é de energia; se
mas
então é sinal de potência. (Casos degenerate:
e
ou ambos infinitos não usuais aqui.)
Passo 3
Usar a propriedade do degrau
para reduzir integrais:
Como para
e
para
, tem-se
Como
Logo, ao calcular
ou as integrais para
podemos integrar só em
.
Passo 4
Calcular
Expandir o quadrado:
Portanto
Calcular cada termo:
Como a terceira integral diverge, concluímos que
Portanto a energia total é infinita — o sinal não é sinal de energia.
Passo 5
Como
vamos calcular a potência média e verificar se é finita e diferente de zero.
Começamos com a integral parcial para tempo finito :
Começamos com a integral parcial para tempo finito
(porque
para
). Já expandimos o integrando antes; portanto
Calcular cada termo em função de
:
Somando:
Agrupando constantes e termos exponenciais:
Agora a potência média é
Dividir termo a termo:
Ao fazer
:
-
, -
(exponenciais decaem mais rápido que cresce).
Logo
Passo 6
- A energia total é infinita:
. - A potência média é finita e não nula:
.
Pelo critério das definições, isso classifica o sinalcomo um sinal de potência.
Dica rápida para prova: sempre verifique se há um termo constante (ou periódico) no sinal — constantes causam contribuição
que diverge, tipicamente levando a energia infinita; nesses casos calcule a potência média com a integral truncada e o limite.
Força aí — deu trabalho, mas agora você tem o passo a passo completo!
Resposta
Sinal de potência;
.
Energia: .
Energia: