Defina se cada um dos sinais abaixo é de Potência ou de Energia e calcule o seu valor.
x(t)=\left(e^{-2 t}+1\right) u(t)

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x(t)=\bigl(e^{-2 t}+1\bigr)u(t)
e pede duas coisas:
  • Determinar se o sinal é de energia ou de potência.
  • Calcular o valor correspondente (energia total E se for sinal de energia; ou potência média P se for sinal de potência).
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • x(t) está definido para todo t\in\mathbb{R}.
  • u(t) é a função degrau unitário, isto é, u(t)=0 para t<0 e u(t)=1 para t\ge0.
  • Portanto, o sinal vale zero para t<0 e vale x(t)=e^{-2t}+1 para t\ge0.

Passo 2

Relembrando as definições (com explicação do que cada símbolo significa):
  • Energia total do sinal x(t):
E=\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^{2}\,dt,
onde |x(t)|^{2} é o quadrado do módulo de x(t) (aqui x(t) é real, então |x(t)|^{2}=x(t)^{2}).
  • Potência média do sinal x(t):
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} |x(t)|^{2}\,dt.
Interpretação rápida: se E<\infty então o sinal é de energia; se E=\infty mas 0<P<\infty então é sinal de potência. (Casos degenerate: E=\infty e P=0 ou ambos infinitos não usuais aqui.)

Passo 3

Usar a propriedade do degrau u(t) para reduzir integrais:
Como u(t)=0 para t<0 e u(t)=1 para t\ge0, tem-se
x(t)=0\quad(t<0),\qquad x(t)=e^{-2t}+1\quad(t\ge0).
Logo, ao calcular E ou as integrais para P podemos integrar só em [0,\infty).

Passo 4

Calcular
E=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)^{2}\,dt = \int_{0}^{\infty} \bigl(e^{-2t}+1\bigr)^{2}\,dt.
Expandir o quadrado:
\bigl(e^{-2t}+1\bigr)^{2}=e^{-4t}+2e^{-2t}+1.
Portanto
E=\int_{0}^{\infty} \bigl(e^{-4t}+2e^{-2t}+1\bigr)\,dt =\int_{0}^{\infty} e^{-4t}\,dt + \int_{0}^{\infty} 2e^{-2t}\,dt + \int_{0}^{\infty} 1\,dt.
Calcular cada termo:
\int_{0}^{\infty} e^{-4t}\,dt = \left[-\frac{1}{4}e^{-4t}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{4},
\int_{0}^{\infty} 2e^{-2t}\,dt = 2\left[-\frac{1}{2}e^{-2t}\right]_{0}^{\infty}=1,
\int_{0}^{\infty} 1\,dt = \lim_{A\to\infty} \int_{0}^{A} 1\,dt = \lim_{A\to\infty} A = \infty.
Como a terceira integral diverge, concluímos que
E=\infty.
Portanto a energia total é infinita — o sinal não é sinal de energia.

Passo 5

Como E=\infty vamos calcular a potência média e verificar se é finita e diferente de zero.
Começamos com a integral parcial para tempo finito T>0:
\int_{-T}^{T} x(t)^{2}\,dt = \int_{0}^{T} \bigl(e^{-2t}+1\bigr)^{2}\,dt
(porque x(t)=0 para t<0). Já expandimos o integrando antes; portanto
\int_{0}^{T} \bigl(e^{-2t}+1\bigr)^{2}\,dt = \int_{0}^{T} e^{-4t}\,dt + \int_{0}^{T} 2e^{-2t}\,dt + \int_{0}^{T} 1\,dt.
Calcular cada termo em função de T:
\int_{0}^{T} e^{-4t}\,dt = \left[-\frac{1}{4}e^{-4t}\right]_{0}^{T}=\frac{1-e^{-4T}}{4},
\int_{0}^{T} 2e^{-2t}\,dt = 2\left[-\frac{1}{2}e^{-2t}\right]_{0}^{T}=1-e^{-2T},
\int_{0}^{T} 1\,dt = T.
Somando:
\int_{-T}^{T} x(t)^{2}\,dt = T + \frac{1-e^{-4T}}{4} + \bigl(1-e^{-2T}\bigr).
Agrupando constantes e termos exponenciais:
\int_{-T}^{T} x(t)^{2}\,dt = T + \frac{5}{4} -\Bigl(\frac{e^{-4T}}{4}+e^{-2T}\Bigr).
Agora a potência média é
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} x(t)^{2}\,dt =\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\left(T + \frac{5}{4} -\Bigl(\frac{e^{-4T}}{4}+e^{-2T}\Bigr)\right).
Dividir termo a termo:
\frac{1}{2T}\left(T + \frac{5}{4} -\Bigl(\frac{e^{-4T}}{4}+e^{-2T}\Bigr)\right) =\frac{1}{2} + \frac{5}{8T} - \frac{1}{2T}\Bigl(\frac{e^{-4T}}{4}+e^{-2T}\Bigr).
Ao fazer T\to\infty:
  • \dfrac{5}{8T}\to0,
  • \dfrac{1}{2T}\bigl(\frac{e^{-4T}}{4}+e^{-2T}\bigr)\to0 (exponenciais decaem mais rápido que T cresce).
    Logo
P=\frac{1}{2}.

Passo 6

  • A energia total é infinita: E=\infty.
  • A potência média é finita e não nula: P=\dfrac{1}{2}.
    Pelo critério das definições, isso classifica o sinal x(t) como um sinal de potência.
Dica rápida para prova: sempre verifique se há um termo constante (ou periódico) no sinal — constantes causam contribuição \int 1\,dt que diverge, tipicamente levando a energia infinita; nesses casos calcule a potência média com a integral truncada e o limite.
Força aí — deu trabalho, mas agora você tem o passo a passo completo!

Resposta

Sinal de potência; P=\dfrac{1}{2}.
Energia: E=\infty.

Exercícios relacionados