- Considere a curva
(Hipérbole):
(a) Calcule
e verifique se a curva é regular em todo o seu domínio.
(b) Determine o vetor tangente no ponto correspondente a
.
(a) Calcule
(b) Determine o vetor tangente no ponto correspondente a
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
definida para todo
. As perguntas são:
- (a) Calcular
e verificar se a curva é regular em todo o seu domínio. - (b) Determinar o vetor tangente no ponto correspondente a
.
Informações relevantes que temos:
- A curva é dada por duas componentes escalares: a primeira componente é
e a segunda é . - Para curvas em
, a derivada é obtida derivando cada componente em relação a . - A definição usada de “regularidade”: uma curva
é regular num parâmetro se . A curva é regular em todo o domínio se isso valer para todo do domínio (aqui ).
Passo 2
A ideia para calcular
é derivar cada componente separadamente. Se
, então
Aqui
e
. Vamos derivar ambas as funções exponenciais (lembrando que a derivada de
é
e a derivada de
é
, por regra da cadeia).
Calculemos:
Portanto, em bloco,
Passo 3
Agora verificamos a regularidade. Relembrando: a curva é regular em
se
. Então perguntamos: existe algum
tal que
Isso exige simultaneamente
e
. Mas sabemos que, para todo
,
e
. Logo
nunca é
e
nunca é
. Portanto não existe
satisfazendo ambas as igualdades; em particular
nunca é o vetor nulo.
Conclusão:
para todo
, ou seja, a curva é regular em todo o seu domínio.
Passo 4
Determinar o vetor tangente no ponto correspondente a
significa avaliar a derivada em
. Usando a expressão que já temos:
Substituindo
:
Esse vetor
é o vetor velocidade no ponto
e aponta na direção tangente à curva naquele ponto.
Passo 5
Breve explicação adicional para usar na prova (dica prática, sem obrigatoriedade): o vetor
é frequentemente chamado de vetor velocidade ou vetor tangente (não normalizado). Se quiser o vetor tangente unitário, divide-se
pelo seu comprimento
. Aqui, por exemplo,
, então o versor tangente em
seria
. Isso é útil quando pedem a direção com norma
.