1. Considere a curva \alpha(t)=\left(e^{t}, e^{-t}\right) (Hipérbole):
    (a) Calcule \alpha^{\prime}(t) e verifique se a curva é regular em todo o seu domínio.
    (b) Determine o vetor tangente no ponto correspondente a t=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva \alpha(t)=\bigl(e^{t},\,e^{-t}\bigr) definida para todo t\in\mathbb{R}. As perguntas são:
  • (a) Calcular \alpha'(t) e verificar se a curva é regular em todo o seu domínio.
  • (b) Determinar o vetor tangente no ponto correspondente a t=0.
Informações relevantes que temos:
  • A curva é dada por duas componentes escalares: a primeira componente é x(t)=e^{t} e a segunda é y(t)=e^{-t}.
  • Para curvas em \mathbb{R}^2, a derivada \alpha'(t) é obtida derivando cada componente em relação a t.
  • A definição usada de “regularidade”: uma curva \alpha é regular num parâmetro t se \alpha'(t)\neq(0,0). A curva é regular em todo o domínio se isso valer para todo t do domínio (aqui \mathbb{R}).

Passo 2

A ideia para calcular \alpha'(t) é derivar cada componente separadamente. Se \alpha(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr), então
\alpha'(t)=\bigl(x'(t),\,y'(t)\bigr).
Aqui x(t)=e^{t} e y(t)=e^{-t}. Vamos derivar ambas as funções exponenciais (lembrando que a derivada de e^{t} é e^{t} e a derivada de e^{-t} é -e^{-t}, por regra da cadeia).
Calculemos:
x'(t)=\frac{d}{dt}e^{t}=e^{t}, \qquad y'(t)=\frac{d}{dt}e^{-t}=-e^{-t}.
Portanto, em bloco,
\alpha'(t)=\bigl(e^{t},\,-e^{-t}\bigr).

Passo 3

Agora verificamos a regularidade. Relembrando: a curva é regular em t se \alpha'(t)\neq(0,0). Então perguntamos: existe algum t\in\mathbb{R} tal que
\alpha'(t)=\bigl(e^{t},\,-e^{-t}\bigr)=(0,0)\,?
Isso exige simultaneamente e^{t}=0 e -e^{-t}=0. Mas sabemos que, para todo t\in\mathbb{R}, e^{t}>0 e e^{-t}>0. Logo e^{t} nunca é 0 e -e^{-t} nunca é 0. Portanto não existe t satisfazendo ambas as igualdades; em particular \alpha'(t) nunca é o vetor nulo.
Conclusão: \alpha'(t)\neq(0,0) para todo t\in\mathbb{R}, ou seja, a curva é regular em todo o seu domínio.

Passo 4

Determinar o vetor tangente no ponto correspondente a t=0 significa avaliar a derivada em t=0. Usando a expressão que já temos:
\alpha'(t)=\bigl(e^{t},\,-e^{-t}\bigr).
Substituindo t=0:
\alpha'(0)=\bigl(e^{0},\,-e^{0}\bigr)=\bigl(1,\,-1\bigr).
Esse vetor \bigl(1,-1\bigr) é o vetor velocidade no ponto t=0 e aponta na direção tangente à curva naquele ponto.

Passo 5

Breve explicação adicional para usar na prova (dica prática, sem obrigatoriedade): o vetor \alpha'(t) é frequentemente chamado de vetor velocidade ou vetor tangente (não normalizado). Se quiser o vetor tangente unitário, divide-se \alpha'(t) pelo seu comprimento \|\alpha'(t)\|. Aqui, por exemplo, \|\alpha'(0)\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}, então o versor tangente em t=0 seria \dfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl(1,-1\bigr). Isso é útil quando pedem a direção com norma 1.

Resposta

\alpha'(t)=\bigl(e^{t},\,-e^{-t}\bigr); a curva é regular para todo t\in\mathbb{R}.
\alpha'(0)=\bigl(1,\,-1\bigr).

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