1. Considere a curva \alpha(t)=\left(t^{2}, t^{3}-3 t\right) :
    (a) Determine \alpha^{\prime}(t).
    (b) Encontre os pontos onde o vetor tangente é horizontal e onde ele é vertical.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \alpha(t)=\bigl(t^{2},\,t^{3}-3t\bigr) para t\in\mathbb{R} e pede duas coisas:
  • (a) Determinar \alpha^{\prime}(t) (o vetor derivada, ou vetor tangente).
  • (b) Encontrar os pontos (valores de t e as coordenadas correspondentes \alpha(t)) onde o vetor tangente é horizontal e onde ele é vertical.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva é definida por duas componentes: x(t)=t^{2} e y(t)=t^{3}-3t.
  • Não foi dada restrição de domínio, logo t vale em \mathbb{R}.

Passo 2

O que significa \alpha^{\prime}(t) e como calcular?
  • Para uma curva paramétrica \alpha(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr), o vetor tangente é a derivada componente a componente:
\alpha'(t)=\bigl(x'(t),\,y'(t)\bigr).
  • Isso vem da ideia simples: a velocidade da curva é a taxa de variação de cada componente em relação a t.
Agora calculamos cada derivada das componentes:
  • Para x(t)=t^{2}, a derivada é a regra da potência: \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t.
  • Para y(t)=t^{3}-3t, derivando termo a termo: \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{3}-3t\bigr)=3t^{2}-3.
Portanto, escrevemos a resposta de (a):
\alpha'(t)=\bigl(2t,\;3t^{2}-3\bigr).

Passo 3

Como decidir quando o vetor tangente é horizontal ou vertical? Vou explicar a ideia de forma bem direta e concreta.
  • Vetor tangente horizontal: significa que a direção da velocidade é paralela ao eixo x. Isso acontece quando a componente vertical do vetor tangente é zero e a componente horizontal não é zero. Em símbolos:
\text{horizontal} \iff y'(t)=0 \quad\text{e}\quad x'(t)\neq 0.
  • Vetor tangente vertical: significa que a direção da velocidade é paralela ao eixo y. Isso acontece quando a componente horizontal do vetor tangente é zero e a componente vertical não é zero. Em símbolos:
\text{vertical} \iff x'(t)=0 \quad\text{e}\quad y'(t)\neq 0.
Uma alternativa útil quando x'(t)\neq 0 é usar a derivada como declive da curva:
\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}.
Então \frac{dy}{dx}=0 (declive zero) dá tangente horizontal; \frac{dy}{dx} indefinido (divisão por zero porque x'(t)=0 mas y'(t)\neq0) dá tangente vertical.

Passo 4

Encontre os valores de t que tornam y'(t)=0 (candidatos a tangente horizontal).
Temos y'(t)=3t^{2}-3. Igualando a zero:
3t^{2}-3=0 \quad\Longrightarrow\quad t^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad t=\pm 1.
Agora verificamos a condição extra x'(t)\neq 0 nesses t. Calculando x'(t)=2t:
  • Para t=1: x'(1)=2\neq 0.
  • Para t=-1: x'(-1)=-2\neq 0.
Portanto, em t=1 e t=-1 o vetor tangente é horizontal.

Passo 5

Encontre os valores de t que tornam x'(t)=0 (candidatos a tangente vertical).
Temos x'(t)=2t. Igualando a zero:
2t=0 \quad\Longrightarrow\quad t=0.
Agora verificamos se y'(0)\neq 0: y'(0)=3\cdot0^{2}-3=-3\neq 0. Logo a condição para tangente vertical é satisfeita em t=0.
Portanto, em t=0 o vetor tangente é vertical.

Passo 6

Mapear os parâmetros encontrados para pontos da curva \alpha(t) (ou seja, dar as coordenadas).
Calcule \alpha(1), \alpha(-1) e \alpha(0):
\alpha(1)=\bigl(1^{2},\,1^{3}-3\cdot1\bigr)=\bigl(1,\,1-3\bigr)=\bigl(1,\,-2\bigr).
\alpha(-1)=\bigl((-1)^{2},\,(-1)^{3}-3(-1)\bigr)=\bigl(1,\,-1+3\bigr)=\bigl(1,\,2\bigr).
\alpha(0)=\bigl(0^{2},\,0^{3}-3\cdot0\bigr)=\bigl(0,\,0\bigr).
Conclusão dos pontos:
  • Tangente horizontal em t=1 e t=-1, correspondendo aos pontos (1,-2) e (1,2), respectivamente.
  • Tangente vertical em t=0, correspondente ao ponto (0,0).

Passo 7

Verificação adicional sobre pontos singulares (curiosidade útil para prova): um ponto singular ocorreria se ambas componentes de \alpha'(t) fossem zero simultaneamente. Resolver
2t=0\quad\text{e}\quad 3t^{2}-3=0
não tem solução comum (primeira dá t=0, segunda dá t=\pm1). Portanto não há pontos onde \alpha'(t)= (0,0); todos os pontos onde uma componente se anula têm a outra componente diferente de zero, o que significa que as tangentes horizontais/verticais encontradas são bem definidas (não são pontos degenerados).

Resposta

(a) \alpha'(t)=\bigl(2t,\;3t^{2}-3\bigr)
(b) Tangente horizontal: t=\pm 1, pontos \bigl(1,-2\bigr) e \bigl(1,2\bigr)
Tangente vertical: t=0, ponto \bigl(0,0\bigr)

Exercícios relacionados