- Considere a curva
:
(a) Determine
.
(b) Encontre os pontos onde o vetor tangente é horizontal e onde ele é vertical.
(a) Determine
(b) Encontre os pontos onde o vetor tangente é horizontal e onde ele é vertical.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
para
e pede duas coisas:
- (a) Determinar
(o vetor derivada, ou vetor tangente). - (b) Encontrar os pontos (valores de
e as coordenadas correspondentes ) onde o vetor tangente é horizontal e onde ele é vertical.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A curva é definida por duas componentes:
e . - Não foi dada restrição de domínio, logo
vale em .
Passo 2
O que significa
e como calcular?
- Para uma curva paramétrica
, o vetor tangente é a derivada componente a componente:
- Isso vem da ideia simples: a velocidade da curva é a taxa de variação de cada componente em relação a
.
Agora calculamos cada derivada das componentes:
- Para
, a derivada é a regra da potência: . - Para
, derivando termo a termo: .
Portanto, escrevemos a resposta de (a):
Passo 3
Como decidir quando o vetor tangente é horizontal ou vertical? Vou explicar a ideia de forma bem direta e concreta.
- Vetor tangente horizontal: significa que a direção da velocidade é paralela ao eixo
. Isso acontece quando a componente vertical do vetor tangente é zero e a componente horizontal não é zero. Em símbolos:
- Vetor tangente vertical: significa que a direção da velocidade é paralela ao eixo
. Isso acontece quando a componente horizontal do vetor tangente é zero e a componente vertical não é zero. Em símbolos:
Uma alternativa útil quando
é usar a derivada como declive da curva:
Então
(declive zero) dá tangente horizontal;
indefinido (divisão por zero porque
mas
) dá tangente vertical.
Passo 4
Encontre os valores de
que tornam
(candidatos a tangente horizontal).
Temos
. Igualando a zero:
Agora verificamos a condição extra
nesses
. Calculando
:
- Para
: . - Para
: .
Portanto, em
e
o vetor tangente é horizontal.
Passo 5
Encontre os valores de
que tornam
(candidatos a tangente vertical).
Temos
. Igualando a zero:
Agora verificamos se
:
. Logo a condição para tangente vertical é satisfeita em
.
Portanto, em
o vetor tangente é vertical.
Passo 6
Mapear os parâmetros encontrados para pontos da curva
(ou seja, dar as coordenadas).
Calcule
,
e
:
Conclusão dos pontos:
- Tangente horizontal em
e , correspondendo aos pontos e , respectivamente. - Tangente vertical em
, correspondente ao ponto .
Passo 7
Verificação adicional sobre pontos singulares (curiosidade útil para prova): um ponto singular ocorreria se ambas componentes de
fossem zero simultaneamente. Resolver
não tem solução comum (primeira dá
, segunda dá
). Portanto não há pontos onde
; todos os pontos onde uma componente se anula têm a outra componente diferente de zero, o que significa que as tangentes horizontais/verticais encontradas são bem definidas (não são pontos degenerados).
Resposta
(a)
(b) Tangente horizontal:
, pontos
e
Tangente vertical: , ponto
Tangente vertical: