Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 bolas vermelhas. Uma segunda urna contém 4 bolas brancas e 5 bolas vermelhas. Um experimento consiste em:
(a) Lançar um dado justo de 6 faces.
(b) Se o resultado for 1 ou 2, uma bola é retirada da Urna 1.
(c) Se o resultado for 3, 4, 5 ou 6, uma bola é retirada da Urna 2.
Dado que a bola retirada foi branca, qual é a probabilidade de que ela tenha vindo da Urna 1 ?
(a) Lançar um dado justo de 6 faces.
(b) Se o resultado for 1 ou 2, uma bola é retirada da Urna 1.
(c) Se o resultado for 3, 4, 5 ou 6, uma bola é retirada da Urna 2.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta claramente o que precisamos achar.
- Urna 1:
bolas brancas e bolas vermelhas. - Urna 2:
bolas brancas e bolas vermelhas. - Um dado justo de
faces é lançado. - Se sair
ou , tira-se uma bola da Urna 1. - Se sair
ou , tira-se uma bola da Urna 2.
- Se sair
- Evento observado: a bola retirada foi branca.
Pergunta: Dada essa informação (a bola é branca), qual é a probabilidade de que ela tenha vindo da Urna 1?
Passo 2
Vamos identificar as probabilidades “a priori” de escolher cada urna (essas vêm do lançamento do dado). Como o dado é justo, cada face tem probabilidade igual.
- Probabilidade de escolher Urna 1:
. - Probabilidade de escolher Urna 2:
.
Explicação curta:
é a probabilidade de sair
ou
no dado, ou seja
faces em
.
Passo 3
Agora calculamos as probabilidades condicionais de tirar uma bola branca em cada urna (ou seja,
).
- Na Urna 1 há
brancas entre bolas, logo - Na Urna 2 há
brancas entre bolas, logo
Raciocínio: probabilidade condicional é “dado que escolhi a urna
, qual a probabilidade de tirar branca?” — é simplesmente número de brancas dividido pelo total na urna.
Passo 4
Para usar Bayes precisamos primeiro a probabilidade total de tirar uma branca,
. Usamos a lei da probabilidade total:
Substituindo os valores:
Calculemos passo a passo:
Somando as frações (mesmo denominador comum
):
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema de Bayes para obter a probabilidade desejada
:
Substituindo os números:
Transformando
, temos
Interpretação rápida: antes de ver a cor, a chance de Urna 1 era
. ao observar branca, essa probabilidade sobe para
porque a Urna 1 tem maior proporção de brancas que a Urna 2, apesar de a Urna 2 ser escolhida com maior probabilidade.