Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 bolas vermelhas. Uma segunda urna contém 4 bolas brancas e 5 bolas vermelhas. Um experimento consiste em:
(a) Lançar um dado justo de 6 faces.
(b) Se o resultado for 1 ou 2, uma bola é retirada da Urna 1.
(c) Se o resultado for 3, 4, 5 ou 6, uma bola é retirada da Urna 2.
Dado que a bola retirada foi branca, qual é a probabilidade de que ela tenha vindo da Urna 1 ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta claramente o que precisamos achar.
  • Urna 1: 3 bolas brancas e 2 bolas vermelhas.
  • Urna 2: 4 bolas brancas e 5 bolas vermelhas.
  • Um dado justo de 6 faces é lançado.
    • Se sair 1 ou 2, tira-se uma bola da Urna 1.
    • Se sair 3,4,5 ou 6, tira-se uma bola da Urna 2.
  • Evento observado: a bola retirada foi branca.
Pergunta: Dada essa informação (a bola é branca), qual é a probabilidade de que ela tenha vindo da Urna 1?

Passo 2

Vamos identificar as probabilidades “a priori” de escolher cada urna (essas vêm do lançamento do dado). Como o dado é justo, cada face tem probabilidade igual.
  • Probabilidade de escolher Urna 1: P(U_1)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.
  • Probabilidade de escolher Urna 2: P(U_2)=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}.
Explicação curta: P(U_1) é a probabilidade de sair 1 ou 2 no dado, ou seja 2 faces em 6.

Passo 3

Agora calculamos as probabilidades condicionais de tirar uma bola branca em cada urna (ou seja, P(\text{branca}\mid U_i)).
  • Na Urna 1 há 3 brancas entre 3+2=5 bolas, logo P(\text{branca}\mid U_1)=\dfrac{3}{5}.
  • Na Urna 2 há 4 brancas entre 4+5=9 bolas, logo P(\text{branca}\mid U_2)=\dfrac{4}{9}.
Raciocínio: probabilidade condicional é “dado que escolhi a urna i, qual a probabilidade de tirar branca?” — é simplesmente número de brancas dividido pelo total na urna.

Passo 4

Para usar Bayes precisamos primeiro a probabilidade total de tirar uma branca, P(\text{branca}). Usamos a lei da probabilidade total:
P(\text{branca})=P(U_1)\,P(\text{branca}\mid U_1)+P(U_2)\,P(\text{branca}\mid U_2).
Substituindo os valores:
P(\text{branca})=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{4}{9}.
Calculemos passo a passo:
\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{1}{5}, \qquad \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{4}{9}=\dfrac{8}{27}.
Somando as frações (mesmo denominador comum 135):
\dfrac{1}{5}=\dfrac{27}{135},\qquad \dfrac{8}{27}=\dfrac{40}{135},
P(\text{branca})=\dfrac{27}{135}+\dfrac{40}{135}=\dfrac{67}{135}.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema de Bayes para obter a probabilidade desejada P(U_1\mid \text{branca}):
P(U_1\mid \text{branca})=\dfrac{P(U_1)\,P(\text{branca}\mid U_1)}{P(\text{branca})}.
Substituindo os números:
P(U_1\mid \text{branca})=\dfrac{\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{5}}{\dfrac{67}{135}}=\dfrac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{67}{135}}.
Transformando \dfrac{1}{5}=\dfrac{27}{135}, temos
P(U_1\mid \text{branca})=\dfrac{27/135}{67/135}=\dfrac{27}{67}.
Interpretação rápida: antes de ver a cor, a chance de Urna 1 era \dfrac{1}{3}\approx 33{,}3\%. ao observar branca, essa probabilidade sobe para \dfrac{27}{67}\approx 40{,}3\% porque a Urna 1 tem maior proporção de brancas que a Urna 2, apesar de a Urna 2 ser escolhida com maior probabilidade.

Resposta

\dfrac{27}{67}

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