Defina e expresse matematicamente o coeficiente de Poisson.
Passo 1
O que o enunciado pede: definir o coeficiente de Poisson e expressá‑lo matematicamente.
Informação dada: nenhum dado numérico; portanto a tarefa é apresentar definição, fórmula básica, relações com outras constantes elásticas e explicar o significado físico.
Informação dada: nenhum dado numérico; portanto a tarefa é apresentar definição, fórmula básica, relações com outras constantes elásticas e explicar o significado físico.
Passo 2
Primeiro, o que é deformação (strain) — para entender o coeficiente de Poisson.
A deformação axial (engenharia) em uma barra quando seu comprimento muda de para
é
A deformação axial (engenharia) em uma barra quando seu comprimento muda de
É adimensional (sem unidades). Sinais:
para alongamento,
para encurtamento.
Passo 3
Agora o que acontece lateralmente: quando uma barra é esticada (tensão axial), suas dimensões transversais normalmente diminuem. A deformação lateral é definida de forma análoga:
onde
é uma dimensão transversal (por exemplo, diâmetro). Em tração típica
(estreita).
Passo 4
Definição verbal do coeficiente de Poisson: é a razão entre a contração lateral e o alongamento axial, com sinal que torna o coeficiente positivo para materiais comuns. A expressão matemática padrão para um carregamento uniaxial é
Explicação do sinal: o negativo garante
quando
e
.
Passo 5
Aplicação em carregamento uniaxial (mostrando a notação): suponha tensão
aplicada apenas na direção
(
,
). Pela lei de Hooke linear isotrópica em 3D,
Daí
e
, que recupera a fórmula do passo anterior.
Passo 6
Relações entre
e outras constantes elásticas (úteis na prova). Para um material isotrópico linear valem:
Dessas expressões seguem inversões úteis:
Passo 7
Relação com os parâmetros de Lamé
e
(onde
):
Isolando
em termos de
e
obtém‑se
Passo 8
Intervalo fisicamente admissível para materiais isotrópicos lineares (condições de estabilidade):
das fórmulas de e
exige‑se
e
, o que implica
das fórmulas de
Significado físico:
próximo de
indica material quase incompressível (borracha);
negativo indica materiais auxéticos (ficam mais largos quando esticados);
próximo de
(ex.: cortiça) praticamente não muda a seção transversal.
Passo 9
Exemplo numérico curto para fixar a ideia: se
(alongamento
) e
, então
ou seja, contração lateral de
.
Passo 10
Observações práticas rápidas:
é adimensional; mede comportamento elástico linear para pequenas deformações; em ensaio típico mede‑se
e
e calcula‑se pela fórmula do passo 4.