Defina e expresse matematicamente o coeficiente de Poisson.

Passo 1

O que o enunciado pede: definir o coeficiente de Poisson e expressá‑lo matematicamente.
Informação dada: nenhum dado numérico; portanto a tarefa é apresentar definição, fórmula básica, relações com outras constantes elásticas e explicar o significado físico.

Passo 2

Primeiro, o que é deformação (strain) — para entender o coeficiente de Poisson.
A deformação axial (engenharia) em uma barra quando seu comprimento muda de L para L+\Delta L é
\varepsilon_{\text{axial}}=\frac{\Delta L}{L}.
É adimensional (sem unidades). Sinais: \varepsilon>0 para alongamento, \varepsilon<0 para encurtamento.

Passo 3

Agora o que acontece lateralmente: quando uma barra é esticada (tensão axial), suas dimensões transversais normalmente diminuem. A deformação lateral é definida de forma análoga:
\varepsilon_{\text{trans}}=\frac{\Delta d}{d},
onde d é uma dimensão transversal (por exemplo, diâmetro). Em tração típica \varepsilon_{\text{trans}}<0 (estreita).

Passo 4

Definição verbal do coeficiente de Poisson: é a razão entre a contração lateral e o alongamento axial, com sinal que torna o coeficiente positivo para materiais comuns. A expressão matemática padrão para um carregamento uniaxial é
\nu = -\,\frac{\varepsilon_{\text{trans}}}{\varepsilon_{\text{axial}}}.
Explicação do sinal: o negativo garante \nu>0 quando \varepsilon_{\text{trans}}<0 e \varepsilon_{\text{axial}}>0.

Passo 5

Aplicação em carregamento uniaxial (mostrando a notação): suponha tensão \sigma aplicada apenas na direção z ( \sigma_{zz}=\sigma, \sigma_{xx}=\sigma_{yy}=0). Pela lei de Hooke linear isotrópica em 3D,
\varepsilon_{zz}=\frac{\sigma}{E}, \qquad \varepsilon_{xx}=\varepsilon_{yy}=-\nu\,\frac{\sigma}{E}.
Daí \varepsilon_{\text{axial}}=\varepsilon_{zz} e \varepsilon_{\text{trans}}=\varepsilon_{xx}=\varepsilon_{yy}, que recupera a fórmula do passo anterior.

Passo 6

Relações entre \nu e outras constantes elásticas (úteis na prova). Para um material isotrópico linear valem:
G=\frac{E}{2(1+\nu)}\quad\text{(módulo de cisalhamento)},ó
K=\frac{E}{3(1-2\nu)}\quad\text{(módulo de compressibilidade / bulk)}.ó
Dessas expressões seguem inversões úteis:
\nu=\frac{E}{2G}-1, \qquad \nu=\frac{3K-E}{6K}.

Passo 7

Relação com os parâmetros de Lamé \lambda e \mu (onde \mu=G):
\lambda=\frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)},\qquad \mu=G.
Isolando \nu em termos de \lambda e \mu obtém‑se
\nu=\frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)}.

Passo 8

Intervalo fisicamente admissível para materiais isotrópicos lineares (condições de estabilidade):
das fórmulas de G e K exige‑se G>0 e K>0, o que implica
-1<\nu<\tfrac{1}{2}.
Significado físico: \nu próximo de 0{,}5 indica material quase incompressível (borracha); \nu negativo indica materiais auxéticos (ficam mais largos quando esticados); \nu próximo de 0 (ex.: cortiça) praticamente não muda a seção transversal.

Passo 9

Exemplo numérico curto para fixar a ideia: se \varepsilon_{\text{axial}}=0{,}01 (alongamento 1\%) e \nu=0{,}33, então
\varepsilon_{\text{trans}}=-\nu\,\varepsilon_{\text{axial}}=-0{,}33\times0{,}01=-0{,}0033,
ou seja, contração lateral de 0{,}33\%.

Passo 10

Observações práticas rápidas: \nu é adimensional; mede comportamento elástico linear para pequenas deformações; em ensaio típico mede‑se \varepsilon_{\text{axial}} e \varepsilon_{\text{trans}} e calcula‑se pela fórmula do passo 4.

Resposta

\displaystyle \nu = -\,\frac{\varepsilon_{\text{trans}}}{\varepsilon_{\text{axial}}}
\displaystyle G=\frac{E}{2(1+\nu)}\quad\Rightarrow\quad \nu=\frac{E}{2G}-1
\displaystyle K=\frac{E}{3(1-2\nu)}\quad\Rightarrow\quad \nu=\frac{3K-E}{6K}
\displaystyle \nu=\frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)}

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