Defina o fator de amortecimento equivalente para um sistema sujeito a vibração forçada com amortecimento de Coulomb.

Passo 1

O enunciado pede para definir o “fator de amortecimento equivalente” de um sistema em vibração forçada que apresenta amortecimento de Coulomb (atrito seco). O conteúdo necessário é a comparação entre a energia dissipada por um amortecedor viscoso e a energia dissipada por atrito Coulomb em um ciclo de oscilação.

Passo 2

Calcular a energia dissipada, em regime estacionário, por um amortecedor viscoso de coeficiente c. Em cada ciclo de frequência \omega e amplitude X, a energia dissipada é
W_{\mathrm{visc}} = \int_{0}^{T} c\,\dot x^{2}\,dt \quad\longrightarrow\quad W_{\mathrm{visc}} = 2\pi\,c\,\omega\,X^{2},
onde T = 2\pi/\omega é o período.

Passo 3

Calcular a energia dissipada, no mesmo ciclo, por atrito Coulomb de força constante F_{c}. A força de atrito sempre se opõe ao deslocamento, de forma que em cada ida e volta se dissipa
W_{\mathrm{Coulomb}} = 4\,F_{c}\,X.

Passo 4

Definir o coeficiente de amortecimento viscoso equivalente c_{\mathrm{eq}} impondo
W_{\mathrm{visc}} = W_{\mathrm{Coulomb}} \quad\Longrightarrow\quad 2\pi\,c_{\mathrm{eq}}\,\omega\,X^{2} = 4\,F_{c}\,X.
Dessa igualdade, obtemos
c_{\mathrm{eq}} = \frac{4\,F_{c}\,X}{2\pi\,\omega\,X^{2}} = \frac{2\,F_{c}}{\pi\,\omega\,X}.

Passo 5

Introduzir o fator de amortecimento equivalente \zeta_{\mathrm{eq}}, que é a razão entre c_{\mathrm{eq}} e o amortecimento crítico c_{\mathrm{cr}} = 2\,m\,\omega. Assim,
\zeta_{\mathrm{eq}} = \frac{c_{\mathrm{eq}}}{c_{\mathrm{cr}}} = \frac{\displaystyle \frac{2\,F_{c}}{\pi\,\omega\,X}}{2\,m\,\omega} = \frac{2\,F_{c}}{2\,\pi\,m\,\omega^{2}\,X} = \frac{F_{c}}{\pi\,k\,X},
onde usamos k = m\,\omega^{2}.

Resposta

O coeficiente de amortecimento viscoso equivalente é
c_{\mathrm{eq}} = \frac{2\,F_{c}}{\pi\,\omega\,X}
e o fator de amortecimento equivalente (razão em relação ao crítico) é
\zeta_{\mathrm{eq}} = \frac{F_{c}}{\pi\,k\,X}.

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