Defina formalmente:
Função Composta:
Função Composta:
Passo 1
O que o enunciado pede: definir formalmente o que é uma “Função Composta”.
Informações dadas: nenhuma outra além do pedido. Vou, então, apresentar uma definição formal precisa e depois explicar passo a passo o que essa definição significa, com exemplos e dicas para provas.
Informações dadas: nenhuma outra além do pedido. Vou, então, apresentar uma definição formal precisa e depois explicar passo a passo o que essa definição significa, com exemplos e dicas para provas.
Passo 2
Configuração formal básica: começamos com conjuntos e funções. Seja
,
e
conjuntos quaisquer. Suponha que temos duas funções
e
Aqui
pega elementos de
e envia para
;
pega elementos de
e envia para
. Esses símbolos significam exatamente o que parecem: domínio e contradomínio.
Passo 3
Definição da composição: a função composta
é a função que primeiro aplica
e depois aplica
ao resultado. Em termos de regra:
para todo
em
tal que
esteja no domínio de
. É isso que chamamos de composição: "fazer
e depois
".
Passo 4
Observação sobre domínio e existência: não basta escrever
sem pensar no domínio. Formalmente o domínio de
é
Se
estiver definida em todo
(isto é,
), então o domínio de
é todo
. Caso contrário, só podemos compor em
onde
cai numa entrada válida de
.
Passo 5
Exemplo calculado passo a passo (útil para prova). Tome
Calcule
:
Agora calcule
:
Nota importante:
e
geralmente são diferentes — composição não é comutativa.
Passo 6
Propriedades essenciais (úteis em provas e para raciocinar):
- Associatividade: se
, e , então
pois ambos enviam
em
para
. A prova é só avaliar as duas expressões num
.
2) Identidade: para cada conjunto existe a função identidade
dada por
. Ela satisfaz
2) Identidade: para cada conjunto
- Inversas: se
é bijetora com inversa , então
Passo 7
Exemplo com domínio restrito (atenção que cai em muitas pegadinhas de prova). Seja
Então
enquanto
Repare que as duas composições têm domínios e formas diferentes — sempre verificar domínio após compor.
Passo 8
Como calcular composição numa prova (checklist prático):
- Verifique os domínios de
e de . - Determine o domínio de
como . - Faça a substituição: calcule
(a “parte interna”), depois substitua na expressão de . - Simplifique e anote o domínio final.
Seguir esses passos evita muitos erros bobos.
Passo 9
Resumo intuitivo e encorajamento final: a função composta é “uma função dentro da outra”: primeiro aplico
, pego o resultado e aplico
. Se em algum momento eu não puder aplicar
ao resultado de
, a composição não existe naquele ponto. Pratique com exemplos simples — é questão de hábito. Você vai conseguir!
Resposta
Sejam
e
. A composição
é a função com domínio
definida por
para todo
desse domínio.