Defina formalmente:
Função Composta:

Passo 1

O que o enunciado pede: definir formalmente o que é uma “Função Composta”.
Informações dadas: nenhuma outra além do pedido. Vou, então, apresentar uma definição formal precisa e depois explicar passo a passo o que essa definição significa, com exemplos e dicas para provas.

Passo 2

Configuração formal básica: começamos com conjuntos e funções. Seja A, B e C conjuntos quaisquer. Suponha que temos duas funções
f: A \to B
e
g: B \to C.
Aqui f pega elementos de A e envia para B; g pega elementos de B e envia para C. Esses símbolos significam exatamente o que parecem: domínio e contradomínio.

Passo 3

Definição da composição: a função composta g\circ f é a função que primeiro aplica f e depois aplica g ao resultado. Em termos de regra:
(g\circ f)(x)=g(f(x))
para todo x em A tal que f(x) esteja no domínio de g. É isso que chamamos de composição: "fazer f e depois g".

Passo 4

Observação sobre domínio e existência: não basta escrever g\circ f sem pensar no domínio. Formalmente o domínio de g\circ f é
\{x\in A \mid f(x)\in\operatorname{dom}(g)\}.
Se g estiver definida em todo B (isto é, \operatorname{dom}(g)=B), então o domínio de g\circ f é todo A. Caso contrário, só podemos compor em x onde f(x) cai numa entrada válida de g.

Passo 5

Exemplo calculado passo a passo (útil para prova). Tome
f(x)=2x+1,\quad \text{domínio } \mathbb{R},í
g(x)=x^{2},\quad \text{domínio } \mathbb{R}.í
Calcule g\circ f:
(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(2x+1)=(2x+1)^{2}=4x^{2}+4x+1.
Agora calcule f\circ g:
(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^{2})=2x^{2}+1.
Nota importante: g\circ f e f\circ g geralmente são diferentes — composição não é comutativa.

Passo 6

Propriedades essenciais (úteis em provas e para raciocinar):
  1. Associatividade: se f:A\to B, g:B\to C e h:C\to D, então
h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f,
pois ambos enviam x em A para h(g(f(x))). A prova é só avaliar as duas expressões num x.
2) Identidade: para cada conjunto X existe a função identidade \operatorname{id}_{X}:X\to X dada por \operatorname{id}_{X}(x)=x. Ela satisfaz
\operatorname{id}_{B}\circ f=f\quad\text{e}\quad f\circ \operatorname{id}_{A}=f.
  1. Inversas: se f:A\to B é bijetora com inversa f^{-1}:B\to A, então
f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_{A}\quad\text{e}\quad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_{B}.

Passo 7

Exemplo com domínio restrito (atenção que cai em muitas pegadinhas de prova). Seja
f(x)=x^{2},\\ \operatorname{dom}(f)=\mathbb{R},
g(x)=\sqrt{x},\\ \operatorname{dom}(g)=[0,\infty).
Então
(g\circ f)(x)=\sqrt{x^{2}}=|x|,\quad \operatorname{dom}(g\circ f)=\mathbb{R},
enquanto
(f\circ g)(x)=(\sqrt{x})^{2}=x,\quad \operatorname{dom}(f\circ g)=[0,\infty).
Repare que as duas composições têm domínios e formas diferentes — sempre verificar domínio após compor.

Passo 8

Como calcular composição numa prova (checklist prático):
  1. Verifique os domínios de f e de g.
  2. Determine o domínio de g\circ f como \{x\in\operatorname{dom}(f)\mid f(x)\in\operatorname{dom}(g)\}.
  3. Faça a substituição: calcule f(x) (a “parte interna”), depois substitua na expressão de g.
  4. Simplifique e anote o domínio final.
    Seguir esses passos evita muitos erros bobos.

Passo 9

Resumo intuitivo e encorajamento final: a função composta é “uma função dentro da outra”: primeiro aplico f, pego o resultado e aplico g. Se em algum momento eu não puder aplicar g ao resultado de f, a composição não existe naquele ponto. Pratique com exemplos simples — é questão de hábito. Você vai conseguir!

Resposta

Sejam f:A\to B e g:B\to C. A composição g\circ f é a função com domínio \{x\in A\mid f(x)\in\operatorname{dom}(g)\} definida por (g\circ f)(x)=g(f(x)) para todo x desse domínio.

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