Determine o domínio das seguintes funçōes: (2.5 pontos)
f(x)=\sqrt{x-\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função f definida por
f(x)=\sqrt{x-\sqrt{x}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função envolve duas raízes quadradas: uma interna \sqrt{x} e a externa \sqrt{\;\cdot\;}.
  • Queremos todos os valores reais de x para os quais a expressão dentro da raiz externa é não negativa e a raiz interna está bem definida.

Passo 2

Regra básica sobre raízes quadradas: a função \sqrt{y} (no contexto de números reais) está definida somente quando y\ge 0. Ou seja, toda vez que aparecer \sqrt{\text{alguma expressão}}ã precisamos exigir que essa expressão seja maior ou igual a zero. Aqui há duas restrições a considerar:
  1. A raiz interna \sqrt{x} exige que x\ge 0.
  2. A raiz externa exige que o radicando x-\sqrt{x} seja maior ou igual a zero:
x-\sqrt{x}\ge 0.

Passo 3

Vamos estudar a desigualdade
x-\sqrt{x}\ge 0.
Para resolver de forma simples, fazemos a substituição clássica que facilita a manipulação: seja
t=\sqrt{x}.
Explicando essa substituição: \sqrt{x} é não negativa por definição, então t\ge 0. Também temos x=t^2. Substituindo na desigualdade obtemos:
t^2 - t \ge 0.
Aqui estamos no caso de uma expressão quadrática em t.

Passo 4

Resolva a desigualdade em t:
t^2 - t \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad t(t-1)\ge 0.
Interpretação da fatoração t(t-1):
  • O produto de dois fatores é maior ou igual a zero quando os dois têm o mesmo sinal (ambos não negativos ou ambos não positivos).
    As raízes da igualdade são t=0 e t=1. Fazendo o estudo de sinal (ou lembrando regra de intervalo para produto),
t(t-1)\ge 0 \quad\text{para}\quad t\in(-\infty,0]\cup[1,\infty).
Mas lembrando a condição da substituição, t=\sqrt{x}\ge 0. Então devemos intersectar com t\ge 0, o que nos deixa com
t\in\{0\}\cup[1,\infty).
Ou seja, t=0 ou t\ge 1.

Passo 5

Volte para a variável x. Como t=\sqrt{x} e x=t^2, temos:
  • Se t=0, então x=0^2=0.
  • Se t\ge 1, então x=t^2\ge 1^2=1, isto é, x\in[1,\infty).
Portanto os valores de x que satisfazem ambas as restrições (a raiz interna definida e o radicando da externa não negativo) são
x=0 \quad\text{ou}\quad x\ge 1.

Passo 6

Verificação rápida com exemplos (para ganhar confiança):
  • x=0: \sqrt{0-\sqrt{0}}=\sqrt{0-0}=\sqrt{0}=0 — OK.
  • x=\tfrac14: \sqrt{\tfrac14-\sqrt{\tfrac14}}=\sqrt{\tfrac14-\tfrac12}=\sqrt{-\tfrac14} — não definido (radicando negativo), logo x=\tfrac14 não pertence ao domínio.
  • x=4: \sqrt{4-\sqrt{4}}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2} — OK.
Esses exemplos confirmam que valores em (0,1) não funcionam, enquanto 0 e todos x\ge 1 funcionam.

Resposta

\{0\}\cup[1,\infty)

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