Determine o domínio das seguintes funçōes: (2.5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
definida por
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função envolve duas raízes quadradas: uma interna
e a externa . - Queremos todos os valores reais de
para os quais a expressão dentro da raiz externa é não negativa e a raiz interna está bem definida.
Passo 2
Regra básica sobre raízes quadradas: a função
(no contexto de números reais) está definida somente quando
. Ou seja, toda vez que aparecer
precisamos exigir que essa expressão seja maior ou igual a zero. Aqui há duas restrições a considerar:
- A raiz interna
exige que . - A raiz externa exige que o radicando
seja maior ou igual a zero:
Passo 3
Vamos estudar a desigualdade
Para resolver de forma simples, fazemos a substituição clássica que facilita a manipulação: seja
Explicando essa substituição:
é não negativa por definição, então
. Também temos
. Substituindo na desigualdade obtemos:
Aqui estamos no caso de uma expressão quadrática em
.
Passo 4
Resolva a desigualdade em
:
Interpretação da fatoração
:
- O produto de dois fatores é maior ou igual a zero quando os dois têm o mesmo sinal (ambos não negativos ou ambos não positivos).
As raízes da igualdade sãoe . Fazendo o estudo de sinal (ou lembrando regra de intervalo para produto),
Mas lembrando a condição da substituição,
. Então devemos intersectar com
, o que nos deixa com
Ou seja,
ou
.
Passo 5
Volte para a variável
. Como
e
, temos:
- Se
, então . - Se
, então , isto é, .
Portanto os valores de
que satisfazem ambas as restrições (a raiz interna definida e o radicando da externa não negativo) são
Passo 6
Verificação rápida com exemplos (para ganhar confiança):
-
: — OK. -
: — não definido (radicando negativo), logo não pertence ao domínio. -
: — OK.
Esses exemplos confirmam que valores em
não funcionam, enquanto
e todos
funcionam.